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　　隨機變量與描述性統計量

　　(一)隨機變量

　　1.定義

　　我們將一個能取得多個可能值的數值變量x稱為隨機變量。

　　如果一個隨機變量X最多只能取可數的不同值，則為離散型隨機變量;如果X的取值無法一一列出，可以遍取某個區間的任意數值，則為連續型隨機變量。

　　2.隨機變量的分布

　　(1)如果X是離散型的，X最多可能取n個值x0，x1，…，xn，并且記pi=P{X=xi}是X取xi的概率，所有概率的總和。

　　(2)如果X是一個連續型隨機變量，由于無法列出X取每個特定值的概率，我們改用概率密度函數來刻畫X的分布性質。

　　(二)隨機變量的數字特征與描述性統計量

　　常用的一些數字特征和它們的描述性統計量有下面幾種：

　　1.期望(均值)

　　隨機變量X的期望(或稱均值，記做E(X))衡量了X取值的平均水平;它是對X所有可能取值按照其發生概率大小加權后得到的平均值。

　　在X的分布未知時，用抽取樣本X1，…，Xn的算術平均數(樣本均值)。

　　【例題·計算題】某投資者將其資金分別投向A、B、C三只股票，占總資金的比重分別為40%、40%、20%;股票A、B、C的期望收益率分別為Ra=14%、Rb=20%、Rc=8%。該股票組合的收益率是對少?

　　【答案與解析】則該股票組合的收益率Rp=0.4×14%+0.4×20%+0.2×8%=15.2%。

　　2.方差與標準差

　　對于投資收益率r，用方差(δ2)或標準差(δ)來衡量它偏離期望值的程度。其中方差=δ2=E[(r-Er)2]的數值越大，收益率r偏離期望收益率Er的程度越大，數值越小偏離就越小。方差和標準差除了應用于分析投資收益率，還可以用來研究價格指數、股價指數等的波動情況。

　　3.分位數

　　分位數通常被用來研究隨機變量X以特定概率(或者一組數據以特等比例)取得大于或等于(或小于等于)某個值的情況。一般來說，設0≤α≤1，隨機變量X的上α分位數是指滿足概率值P{X≥xα｝=α的數xα，下α分位數是指滿足概率值P{X≤x*α｝=α的數x*α。

　　4.中位數

　　中位數是用來衡量數據取值的中等水平或一般水平的數值。對于隨機變量x來說，它的中位數就是上50%分位數x50%，這意味著Ⅳ的取值大于其中位數和小于其中位數的概率各為50%。對于一組數據來說，中位數就是大小處于正中間位置的那個數值。

　　【例題·單選題】通常被用來研究隨機變量X以特定概率取得大于或等于某個值的情況的統計量是( )。

　　A.分位數

　　B.方差

　　C.標準差

　　D.中位數

　　【答案】A

　　【解析】分位數通常被用來研究隨機變量X以特定概率(或者一組數據以特等比例)取得大于或等于(或小于等于)某個值的情況。

　　二、正態分布

　　正態分布是最重要的一類連續型隨機變量分布，當一個隨機變量的取值受到大量不同因素作用的共同影響，并且單個因素的影響都微不足道的時候，這個隨機變量就服從或近似服從正態分布。

　　正態分布密度函數的顯著特點是中間高兩邊低，由中間(X=p)向兩邊遞減，并且分布左右對稱，是一條光滑的“鐘形曲線”。

　　正態分布距離均值越近的地方數值越集中，而在離均值較遠的地方數值則很稀疏;這意味著正態分布出現極端值的概率很低，而出現均值附近的數值的概率非常大。同時圖像越“瘦”，正態分布集中在均值附近的程度也越大。

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