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　　第四節　數據分析

　　一、基礎統計分析

　　(一)描述統計分析

　　1.集中趨勢的測度

　　集中趨勢是指一組數據向其中心值靠攏的傾向，測度集中趨勢就是確定數據一般水平的代表值或中心值。集中趨勢的測量有三個常用的指標：

　　(1)眾數，是一組數據中出現次數最多的變量值。

　　對數據確定眾數時，只需把數據整理后列出頻數(出現次數)分布表，頻數最多的那一組為眾數。從分布圖形來看，眾數應對應于圖形最高點。有些情況下數據分布可能表現為雙眾數，甚至多眾數，也有另一種情況，即沒有眾數(均勻分布)。眾數的基本思想，是用來反映一組數據若存在聚中趨勢，則在數據的中心，變量值出現的頻數較高，眾數就是這一位置的代表值。

　　眾數的一個突出特點是它不受極端數值的影響。

　　(2)中位數，是一組數據排序后處于中間位置的變量值，是一組數據的中點，即高于和低于它的數據各占一半。

　　(3)均值，是集中趨勢的主要測度值，用于反映一組數值型數據的一般水平。主要包括算術平均數、調和平均數和幾何平均數。

　　2.離散程度的測度

　　數據的離散程度是數據分布的另一重要特征，它是指各變量值遠離其中心值的程度，所以也叫離中趨勢。

　　離中趨勢是經過綜合與抽象后對數據一般水平的概括性描述，它對數據的代表性取決于數據的離散程度，離散程度小代表性就好，反之代表性就差。

　　(1)極差，也稱全距，是一組數據中最大值與最小值之差。

　　極差是描述數據離散程度的最簡單的方法，表明數據的分布范圍。它計算簡單，易于理解。但是極差由兩端數值所決定，不能反映中間數據的分布離散狀況。

　　(2)平均差，也叫平均離差，是各變量值(Xi)與其均值()離差絕對值的平均數：

　　平均差反映了所有數據與均值的平均距離。平均差越小，說明數據離散程度越小。

　　(3)方差和標準差。方差是一組數據中各變量值與均值離差平方的平均數。方差的平方根叫標準差。方差與標準差是描述數據分布特征的重要的統計量，它們是反映數值型數據離散程度最主要、最常用的方法。

　　根據總體數據和樣本數據計算方差及標準差時，計算公式略有不同。

　　計算總體方差：

　　總體標準差:

　　計算樣本方差:

　　樣本標準差：

　　式中Xi是數值序列中的單個數值， 是這組數值的平均值,N是總體數值的個數，n是樣本數值的個數。

　　計算樣本方差與標準差時之所以與總體不同，是因為計算樣本方差或標準差時，是要把它作為總體方差或標準差的估計量，統計上對估計量要求滿足一些條件(一致性、無偏性、有效性)，為滿足無偏性條件，樣本方差計算時，分母要用n-1，而不是n。

　　3.相關分析

　　所謂相關分析，是研究現象之間是否存在某種依存關系，并對具體有依存關系的現象探討其相關方向以及相關程度，是研究隨機變量之間的相關關系的一種統計方法。

　　變量之間的相關關系主要有線性相關和非線性相關、正相關和負相關等幾種形式。

　　對兩個變量間線性相關程度的測量稱為簡單相關系數。樣本相關系數定義公式為:

 

　　式中，r為樣本相關系數，COVXY為協方差，Sx、Sy分別是變量x和y的標準差。(注意：公式中分子分母求和表達式中應該是i=1到n，而不是n=1到n)

　　相關系數r的取值范圍在-1～+1之間。

　　·r=1或r=-1時，表明變量間的關系為完全正相關或完全負相關，這是兩種極端的情況，實際上表明兩個變量之間是線性關系;

　　·r=0時，表明變量間不存在線性相關關系，可能是無相關，也可能是非線性相關;

　　·0

　　·-l

　　|r|愈接近于l，變量間相關程度愈高，|r|愈接近于0，相關程度愈低。

　　在一般情況下，總體相關系數p是未知的，一般是用樣本相關系數r作為總體相關系數P的估計值。但由于存在樣本抽樣的隨機性，樣本相關系數并不直接反映總體相關程度，因而，計算出來的樣本相關系數在多大程度上值得信賴，需要進行檢驗。

　　|r|<自由度(df)為(n-2)的t統計量t(n-2)、顯著性為a(10%;5%)的相關系數(查相關系數表)，其相關性是顯著的。所謂“顯著水平”或r=0，指的是很少會發生的概率。

　　(教材這句話是錯誤的，正確的表達為：

　　|r|< 時，相關性是不顯著的。

　　|r|>時，相關性是顯著的。

　　其中 ，而則可以通過查表得知，α可以取5%，也可以取10%)

　　在實際中，因為研究目的、變量類型的不同，采用的相關分析也不同。比較常用的相關分析有二元定距變量的相關分析、二元定序變量的相關分析、偏相關分析和距離分析等。

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