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第三節 常用的數據特征測度
【本節考點】
1、 均值和中位數
2、 方差和標準差
【本節內容】
對統計數據特征的測度,主要從三個方面進行:
一是分布的集中趨勢,反映數據向其中心值靠攏或聚集的程度;
二是分布的離散程度,反映各數據遠離其中心值的趨勢;
三是分布的偏態和峰度,反映數據分布的形狀。
(一)均值和中位數(測度數據的集中趨勢)
集中趨勢是指一組數據向某一中心值靠攏的程度,它反映了一組數據中心點的位置所在。集中趨勢的測度也就是尋找數據水平的代表值或中心值。
1、均值
均值也就是平均數,就是數據組中所有數值的總和除以該組數值的個數。
【注1】它是集中趨勢中最主要的測度值,是一組數據的重心所在,解釋了一組數據的平均水平。
【注2】均值主要適用于數值型數據,但不適用于分類數據和順序數據。
【注3】均值易受極端值的影響,極端值會使得均值向極大值或極小值方向傾斜,使得均值對數據組的代表性減弱。
2、中位數
(1)含義:把一組數據按從小到大或從大到小的順序進行排列,位置居中的數值叫做中位數。中位數將數據分為兩部分,其中一半的數據小于中位數,另一半數據大于中位數。
(2)計算:
根據未分組數據計算中位數時,要先對數據進行排序,然后確定中位數的位置,n為數據的個數,其公式為:
(1)n為奇數:中位數位置是 ,該位置所對應的數值就是中位數數值。
(2)n為偶數:中位數位置是介于 和(
+1)之間,中位數就是這兩個位置對應的數據的均值。
(3)適用:中位數主要用于順序數據,也適用于數值型數據,但不適用于分類數據,中位數不受極端值的影響,抗干擾性強。
【例題5:2008單選題】某小學六年級8個班的學生人數由少到多依次為34人、34人、34人、34人、36人、36人、37人、37人,其中位數為()
A34
B35
C36
D37
【答案】B
【解析】n為偶數,中位數=(34+36)/2=35.
【例題6:單選】下面一組數據為9個家庭的人均月收入數據(單位:元):750;780;850;960;1080;1250;1500;1650;2000;則中位數為()
A750
B1080
C1500
D2000
【答案】B
【解析】n為奇數,中位數位置為5,所對應的數值為1080。
【例題7:2011年單選】2010年某省8個地市的財政支出(單位:萬元)分別為:59000500026560266450780007800078000132100這組數據的中位數是()萬元。
A.78000
B.72225
C.66450
D.75894
【答案】B
【解析】由于所給數據是8個,所以中位數的位置是第4個和第5個數據的平均數。(66450+78000)/2=72225
【例題8:2003年單選】集中趨勢最主要的測度值是()。
A.眾數
B.中位數
C.均值
D.幾何平均數
【答案】C
【解析】算術平均數也稱為均值,是集中趨勢最主要的測度值。
【例題9:2007年單選改編】某連鎖超市6個分店的職工人數有小到大排序后為57人、58人、58人、60人、63人、70人其均值、中位數分別為( )。
A.59、58
B.61、58
C.61、59
D.61、70
【答案】C.
【解析】均值=(57+58+58+60+63+70)/6=61
中位數=(58+60)/2=59
(二)方差和標準差(測度數據的離散趨勢)
離散程度反映的是各變量值遠離中心值的程度。
集中趨勢的測度值是對數據一般水平的一個概括性變量,它對一組數據的代表程度,取決于該組數據的離散水平。數據的離散程度越大,集中趨勢的測度值對該組數據的代表性就越差,離散程度越小,其代表性就越好。
【例題10:2010年單選】集中趨勢的測度值對一組數據的代表程度,取決于該組數據的離散水平。數據的離散程度越大,集中趨勢的測度值對該組數據的代表性()。
A.越好
B.越差
C.始終不變
D.在一定區間內反復變化
【答案】B
1、含義:
(1)方差是數據組中各數值與其均值離差平方的平均數。是實際中應用最廣泛的離散程度測度值。方差越小,說明數據值與均值的平均距離越小,均值的代表性越好。
(2)標準差:方差的平方根,不僅能度量數值與均值的平均距離,還與原始數值具有相同的計量單位。
2、計算:
【例題11】某售貨小組有5名營業員,元旦一天的銷售額分別為520元、600元、480元、750元和500元,求該日平均銷售額及樣本方差和樣本標準差。
【解析】
(1) 平均銷售額=(520+600+480+750+500)/5=570元
(2) 樣本方差
第一步:計算差
520-570=-50;600-570=30;480-570=90;750-570=180;500-570=-70
第二步:計算差平方和
(-50)2+(30)2+(90)2+(180)2+(-70)2
第三步:計算方差
3、適用
只適用于數值型數據,容易受極端值的影響。
【例題12:2010年多選題改編】數值型數據離散程度的測度指標有()。
A.中位數
B.幾何平均數
C.均值
D.標準差
E.方差
【答案】DE
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