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　　難點6 函數值域及求法

　　函數的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內容之一.本節主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會用函數的值域解決實際應用問題.

　　●難點磁場

　　(★★★★★)設m是實數，記M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+ ).

　　(1)證明：當m∈M時，f(x)對所有實數都有意義;反之，若f(x)對所有實數x都有意義，則m∈M.

　　(2)當m∈M時，求函數f(x)的最小值.

　　(3)求證：對每個m∈M,函數f(x)的最小值都不小于1.

　　●案例探究

　　[例1]設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為λ(λ<1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最小?如果要求λ∈[ ]，那么λ為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最小?

　　命題意圖：本題主要考查建立函數關系式和求函數最小值問題，同時考查運用所學知識解決實際問題的能力，屬★★★★★級題目.

　　知識依托：主要依據函數概念、奇偶性和最小值等基礎知識.

　　錯解分析：證明S(λ)在區間[ ]上的單調性容易出錯，其次不易把應用問題轉化為函數的最值問題來解決.

　　技巧與方法：本題屬于應用問題，關鍵是建立數學模型，并把問題轉化為函數的最值問題來解決.

　　解：設畫面高為x cm,寬為λx cm,則λx2=4840,設紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,將x= 代入上式得：S=5000+44 (8 + ),當8 = ,即λ= <1)時S取得最小值.此時高：x= =88 cm,寬：λx= ×88=55 cm.

　　如果λ∈[ ]可設 ≤λ1<λ2≤ ,則由S的表達式得：

　　又 ≥ ,故8- >0,

　　∴S(λ1)-S(λ2)<0,∴S(λ)在區間[ ]內單調遞增.��

　　從而對于λ∈[ ],當λ= 時，S(λ)取得最小值.

　　答：畫面高為88 cm,寬為55 cm時，所用紙張面積最小.如果要求λ∈[ ],當λ= 時，所用紙張面積最小.

　　[例2]已知函數f(x)= ,x∈[1,+∞ (1)當a= 時，求函數f(x)的最小值.

　　(2)若對任意x∈[1,+∞ ,f(x)>0恒成立，試求實數a的取值范圍.

　　命題意圖：本題主要考查函數的最小值以及單調性問題，著重于學生的綜合分析能力以及運算能力，屬★★★★級題目.

　　知識依托：本題主要通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現了轉化的思想與分類討論的思想.

　　錯解分析：考生不易考慮把求a的取值范圍的問題轉化為函數的最值問題來解決.

　　技巧與方法：解法一運用轉化思想把f(x)>0轉化為關于x的二次不等式;解法二運用分類討論思想解得.

　　(1)解：當a= 時，f(x)=x+ +2

　　∵f(x)在區間[1，+∞ 上為增函數，

　　∴f(x)在區間[1，+∞ 上的最小值為f(1)= .

　　(2)解法一：在區間[1，+∞ 上，f(x)= >0恒成立 x2+2x+a>0恒成立.

　　設y=x2+2x+a,x∈[1,+∞ ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1遞增，

　　∴當x=1時，ymin=3+a,當且僅當ymin=3+a>0時，函數f(x)>0恒成立，故a>-3.��

　　解法二：f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞ 當a≥0時，函數f(x)的值恒為正;

　　當a<0時，函數f(x)遞增，故當x=1時，f(x)min=3+a,

　　當且僅當f(x)min=3+a>0時，函數f(x)>0恒成立，故a>-3.

　　●錦囊妙計

　　本難點所涉及的問題及解決的方法主要有：

　　(1)求函數的值域

　　此類問題主要利用求函數值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調性法、圖象法、換元法、不等式法等.無論用什么方法求函數的值域，都必須考慮函數的定義域.

　　(2)函數的綜合性題目

　　此類問題主要考查函數值域、單調性、奇偶性、反函數等一些基本知識相結合的題目.

　　此類問題要求考生具備較高的數學思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強.

　　(3)運用函數的值域解決實際問題

　　此類問題關鍵是把實際問題轉化為函數問題，從而利用所學知識去解決.此類題要求考生具有較強的分析能力和數學建模能力.

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