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　　難點7 奇偶性與單調性(一)

　　函數的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣.本節主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調性的定義，掌握判定方法，正確認識單調函數與奇偶函數的圖象.

　　●難點磁場

　　(★★★★)設a>0,f(x)= 是R上的偶函數，(1)求a的值;(2)證明： f(x)在(0，+∞)上是增函數.

　　●案例探究

　　[例1]已知函數f(x)在(-1，1)上有定義，f( )=-1,當且僅當0

　　(1)f(x)為奇函數;(2)f(x)在(-1，1)上單調遞減.

　　命題意圖：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的判定以及運算能力和邏輯推理能力.屬★★★★題目.

　　知識依托：奇偶性及單調性定義及判定、賦值法及轉化思想.

　　錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準確，運算技能不過關，結果很難獲得.

　　技巧與方法：對于(1)，獲得f(0)的值進而取x=-y是解題關鍵;對于(2)，判定 的范圍是焦點.

　　證明：(1)由f(x)+f(y)=f( ),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f( )=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)為奇函數.

　　(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減.

　　令0

　　∵00,1-x1x2>0，∴ >0,

　　又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0

　　∴x2-x1<1-x2x1,

　　∴0< <1,由題意知f( )<0，��

　　即f(x2)

　　∴f(x)在(0，1)上為減函數，又f(x)為奇函數且f(0)=0.

　　∴f(x)在(-1，1)上為減函數.

　　[例2]設函數f(x)是定義在R上的偶函數，并在區間(-∞,0)內單調遞增，f(2a2+a+1)

　　命題意圖：本題主要考查函數奇偶性、單調性的基本應用以及對復合函數單調性的判定方法.本題屬于★★★★★級題目.

　　知識依托：逆向認識奇偶性、單調性、指數函數的單調性及函數的值域問題.

　　錯解分析：逆向思維受阻、條件認識不清晰、復合函數判定程序紊亂.

　　技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.

　　解：設0

　　∴f(-x2)

　　∴f(x2)

　　由f(2a2+a+1)3a2-2a+1.解之，得0

　　又a2-3a+1=(a- )2- .

　　∴函數y=( ) 的單調減區間是[ ，+∞]

　　結合0

　　●錦囊妙計

　　本難點所涉及的問題及解決方法主要有：

　　(1)判斷函數的奇偶性與單調性

　　若為具體函數，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性.

　　若為抽象函數，在依托定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理性.

　　同時，注意判斷與證明、討論三者的區別，針對所列的“磁場”及“訓練”認真體會，用好數與形的統一.

　　復合函數的奇偶性、單調性.問題的解決關鍵在于：既把握復合過程，又掌握基本函數.

　　(2)加強逆向思維、數形統一.正反結合解決基本應用題目，下一節我們將展開研究奇偶性、單調性的應用.

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