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　　難點9 指數函數、對數函數問題

　　指數函數、對數函數是高考考查的重點內容之一，本節主要幫助考生掌握兩種函數的概念、圖象和性質并會用它們去解決某些簡單的實際問題.

　　●難點磁場

　　(★★★★★)設f(x)=log2 ,F(x)= +f(x).

　　(1)試判斷函數f(x)的單調性，并用函數單調性定義，給出證明;

　　(2)若f(x)的反函數為f-1(x),證明：對任意的自然數n(n≥3),都有f-1(n)> ;

　　(3)若F(x)的反函數F-1(x),證明：方程F-1(x)=0有惟一解.

　　●案例探究

　　[例1]已知過原點O的一條直線與函數y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數y=log2x的圖象交于C、D兩點.

　　(1)證明：點C、D和原點O在同一條直線上;

　　(2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標.

　　命題意圖：本題主要考查對數函數圖象、對數換底公式、對數方程、指數方程等基礎知識，考查學生的分析能力和運算能力.屬★★★★級題目.

　　知識依托：(1)證明三點共線的方法：kOC=kOD.

　　(2)第(2)問的解答中蘊涵著方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A點坐標.

　　錯解分析：不易考慮運用方程思想去解決實際問題.

　　技巧與方法：本題第一問運用斜率相等去證明三點共線;第二問運用方程思想去求得點A的坐標.

　　(1)證明：設點A、B的橫坐標分別為x1、x2,由題意知：x1>1,x2>1,則A、B縱坐標分別為log8x1,log8x2.因為A、B在過點O的直線上，所以 ,點C、D坐標分別為(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1= = 3log8x2,所以OC的斜率：k1= ,

　　OD的斜率：k2= ，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一條直線上.

　　(2)解：由BC平行于x軸知：log2x1=log8x2 即：log2x1= log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1= ,則點A的坐標為( ，log8 ).

　　[例2]在xOy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,對每個自然數n點Pn位于函數y=2000( )x(0

　　(1)求點Pn的縱坐標bn的表達式;

　　(2)若對于每個自然數n,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形，求a的取值范圍;

　　(3)設Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中確定的范圍內的最小整數，問數列{Cn}前多少項的和最大?試說明理由.

　　命題意圖：本題把平面點列，指數函數，對數、最值等知識點揉合在一起，構成一個思維難度較大的綜合題目，本題主要考查考生對綜合知識分析和運用的能力.屬★★★★★級

　　題目.

　　知識依托：指數函數、對數函數及數列、最值等知識.

　　錯解分析：考生對綜合知識不易駕馭，思維難度較大，找不到解題的突破口.

　　技巧與方法：本題屬于知識綜合題，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，并會運用相關的知識點去解決問題.

　　解：(1)由題意知：an=n+ ,∴bn=2000( ) .

　　(2)∵函數y=2000( )x(0bn+1>bn+2.則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn,即( )2+( )-1>0,解得a<-5(1+ )或a>5( -1).∴5( -1)

　　(3)∵5( -1)

　　∴bn=2000( ) .數列{bn}是一個遞減的正數數列，對每個自然數n≥2,Bn=bnBn-1.于是當bn≥1時，Bn

　　●錦囊妙計

　　本難點所涉及的問題以及解決的方法有：

　　(1)運用兩種函數的圖象和性質去解決基本問題.此類題目要求考生熟練掌握函數的圖象和性質并能靈活應用.

　　(2)綜合性題目.此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力.

　　(3)應用題目.此類題目要求考生具有較強的建模能力.

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