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　　難點14 數列綜合應用問題

　　縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關數列的試題出現的頻率較高，不僅可與函數、方程、不等式、復數相聯系，而且還與三角、立體幾何密切相關;數列作為特殊的函數，在實際問題中有著廣泛的應用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養老保險，圓鋼堆壘等問題.這就要求同學們除熟練運用有關概念式外，還要善于觀察題設的特征，聯想有關數學知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數列題的速度.

　　●難點磁場

　　(★★★★★)已知二次函數y=f(x)在x= 處取得最小值- (t>0),f(1)=0.

　　(1)求y=f(x)的表達式;

　　(2)若任意實數x都滿足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]為多項式，n∈N*),試用t表示an和bn;

　　(3)設圓Cn的方程為(x-an)2+(y-bn)2=rn2，圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項都是正數的等比數列，記Sn為前n個圓的面積之和，求rn、Sn.

　　●案例探究

　　[例1]從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業，根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少 ，本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加 .

　　(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達式;

　　(2)至少經過幾年，旅游業的總收入才能超過總投入?

　　命題意圖：本題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式等基礎知識;考查綜合運用數學知識解決實際問題的能力，本題有很強的區分度，屬于應用題型，正是近幾年高考的熱點和重點題型，屬★★★★★級題目.

　　知識依托：本題以函數思想為指導，以數列知識為工具，涉及函數建模、數列求和、不等式的解法等知識點.

　　錯解分析：(1)問an、bn實際上是兩個數列的前n項和，易與“通項”混淆;(2)問是既解一元二次不等式又解指數不等式，易出現偏差.

　　技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數量關系，建立數量模型是本題的靈魂，(2)問中指數不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.

　　解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1- )萬元，…第n年投入為800×(1- )n-1萬元，所以，n年內的總投入為

　　an=800+800×(1- )+…+800×(1- )n-1= 800×(1- )k-1

　　=4000×[1-( )n]

　　第1年旅游業收入為400萬元，第2年旅游業收入為400×(1+ )，…，第n年旅游業收入400×(1+ )n-1萬元.所以，n年內的旅游業總收入為

　　bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k-1= 400×( )k-1.

　　=1600×[( )n-1]

　　(2)設至少經過n年旅游業的總收入才能超過總投入，由此bn-an>0，即：

　　1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0，令x=( )n，代入上式得：5x2-7x+2>0.解此不等式，得x< ，或x>1(舍去).即( )n< ，由此得n≥5.

　　∴至少經過5年，旅游業的總收入才能超過總投入.

　　[例2]已知Sn=1+ +…+ ,(n∈N*)設f(n)=S2n+1-Sn+1,試確定實數m的取值范圍，使得對于一切大于1的自然數n，不等式：f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2恒成立.

　　命題意圖：本題主要考查應用函數思想解決不等式、數列等問題，需較強的綜合分析問題、解決問題的能力.屬★★★★★級題目.

　　知識依托：本題把函數、不等式恒成立等問題組合在一起，構思巧妙.

　　錯解分析：本題學生很容易求f(n)的和，但由于無法求和，故對不等式難以處理.

　　技巧與方法：解決本題的關鍵是把f(n)(n∈N*)看作是n的函數，此時不等式的恒成立就轉化為：函數f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2.

　　解：∵Sn=1+ +…+ .(n∈N*)

　　∴f(n+1)>f(n)

　　∴f(n)是關于n的增函數

　　∴f(n) min=f(2)= ∴要使一切大于1的自然數n，不等式

　　f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2恒成立

　　只要 >[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2成立即可

　　由 得m>1且m≠2

　　此時設[logm(m-1)]2=t 則t>0

　　于是 解得0

　　由此得0<[logm(m-1)]2<1

　　解得m> 且m≠2.

　　●錦囊妙計

　　1.解答數列綜合題和應用性問題既要有堅實的基礎知識,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力;解答應用性問題，應充分運用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關等差(比)數列、遞推數列模型，再綜合其他相關知識來解決問題.

　　2.縱觀近幾年高考應用題看，解決一個應用題，重點過三關：

　　(1)事理關：需要讀懂題意，明確問題的實際背景，即需要一定的閱讀能力.

　　(2)文理關：需將實際問題的文字語言轉化數學的符號語言，用數學式子表達數學關系.

　　(3)事理關：在構建數學模型的過程中;要求考生對數學知識的檢索能力，認定或構建相應的數學模型，完成用實際問題向數學問題的轉化.構建出數學模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實的基礎知識和較強的數理能力.

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