2019初中數學奧賽題及答案

　　一、選擇題

　　1.數1是 ( )

　　A.最小整數

　　B.最小正數

　　C.最小自然數

　　D.最小有理數

   　 答案：C

　　解析：整數無最小數，排除A;正數無最小數，排除B;有理數無最小數，排除D。1是最小自然數，正確，故選C。

　　2.a為有理數，則一定成立的關系式是 ( )

　　A.7a>a

　　B.7+a>a

　　C.7+a>7

　　D.|a|≥7

　　答案：B

　　解析：若a=0，7×0=0排除A;7+0=7排除C;|0|<7排除D，事實上因為7>0，必有7+a>0+a=a.選B。

　　3.3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是 ( )

　　A.6.1632

　　B.6.2832

　　C.6.5132

　　D.5.3692

　　答案：B

　　解析：3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)

　　=3.1416(7.5944-5.5944)=2×3.1416

　　=6.2832，選B。

　　4.在-4，-1，-2.5，-0.01與-15這五個數中，最大的數與絕對值最大的那個數的乘積是( )

　　A.225

　　B.0.15

　　C.0.0001

　　D.1

　　答案：B

　　解析：-4，-1，-2.5，-0.01與-15中最大的數是-0.01，絕對值最大的數是-15，(-0.01)×(-15)=0.15，選B。

　　二、填空題

　　1.計算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______。

　　答案：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1) =-1 。

　　2.求值：(-1991)-|3-|-31||=______。

　　答案：(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019。

　　3.n為正整數，1990n-1991的末四位數字由千位、百位、十位、個位、依次排列組成的四位數是8009。則n的最小值等于______。

　　答案：4

　　解析：1990n的末四位數字應為1991+8009的末四位數字.即為0000，即1990n末位至少要4個0，所以n的最小值為4。

　　4.不超過(-1.7)²的最大整數是______。

　　答案：2

　　解析：(-1.7)²=2.89，不超過2.89的最大整數為2。

　　5.一個質數是兩位數，它的個位數字與十位數字的差是7，則這個質數是______。

　　答案：29

　　解析：個位數比十位數大7的兩位數有18，29，其中只有29是質數。

　　三、解答題

　　1.已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x+2000的值。

　　答案：原式

　　=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1+3×1-2x+2000=2003。

　　2.某商店出售的一種商品，每天賣出100件，每件可獲利4元，現在他們采用提高售價、減少進貨量的辦法增加利潤，根據經驗，這種商品每漲價1元，每天就少賣出10件。試問將每件商品提價多少元，才能獲得最大利潤?最大利潤是多少元?

　　答案：原來每天可獲利4×100元，若每件提價x元，則每件商品獲利(4+x)元，但每天賣出為(100-10x)件。

　　如果設每天獲利為y元，

　　則y =(4+x)(100-10x)

　　=400+100x-40x-10x2

　　=-10(x2-6x+9)+90+400

　　=-10(x-3)2+490。

　　所以當x=3時，y最大=490元，即每件提價3元，每天獲利最大為490元。

　　3.如圖1-96所示，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1+∠2=90°。求證：DA⊥AB。

　　證明：∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1+∠2=90°，

　　∴∠ADC+∠BCD=180°，

　　∴ AD∥BC。

　　又∵　 AB⊥BC，

　　∴AB⊥AD。

　　4.求方程|xy|-|2x|+|y|=4的整數解。

　　答案：|x||y|-2|x|+|y|=4，即 |x|(|y|-2)+(|y|-2)=2，

　　所以(|x|+1)(|y|-2)=2。

　　因為|x|+1>0，且x，y都是整數，所以

　　5.王平買了年利率7.11%的三年期和年利率為7.86%的五年期國庫券共35000元，若三年期國庫券到期后，把本息再連續存兩個一年期的定期儲蓄，五年后與五年期國庫券的本息總和為47761元，問王平買三年期與五年期國庫券各多少?(一年期定期儲蓄年利率為5.22%)

　　答案：設設王平買三年期和五年期國庫券分別為x元和y元，則

　　因為　y=35000-x，

　　所以 x(1+0.0711×3)(1+0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，

　　所以 1.3433x+48755-1.393x=47761，

　　所以 0.0497x=994，

　　所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)。

　　6. 對k，m的哪些值，方程組至少有一組解?

　　答案：因為 (k-1)x=m-4， ①

　　m為一切實數時，方程組有唯一解.當k=1，m=4時，①的解為一切實數，所以方程組有無窮多組解。

　　當k=1，m≠4時，①無解。

　　所以，k≠1，m為任何實數，或k=1，m=4時，方程組至少有一組解。

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