1.5 風(fēng)險管理常用的概率統(tǒng)計知識

　　1.5.1 基本概念

　　1.概率

　　概率是對不確定性事件進(jìn)行描述的最有效的數(shù)學(xué)工具，是對不確定性事件發(fā)生可能性的一種度量。

　　不確定性事件是指，在相同的條件下重復(fù)一個行為或試驗(yàn)，所出現(xiàn)的結(jié)果有多種，但具體是哪種結(jié)果事前不可預(yù)知。

　　確定性事件是指，在相同的條件下重復(fù)同一行為或試驗(yàn)，出現(xiàn)的結(jié)果也是相同的。確定性事件的出現(xiàn)具有必然性，而不確定性事件的出現(xiàn)具有偶然性。

　　概率所描述的是偶然事件，是對未來發(fā)生的不確定性中的數(shù)量規(guī)律進(jìn)行度量。

　　2.隨機(jī)事件

　　在每次隨機(jī)試驗(yàn)中可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的結(jié)果成為隨機(jī)事件。

　　隨機(jī)事件由基本事件構(gòu)成。基本事件是隨機(jī)試驗(yàn)中不能再分解的最簡單的隨機(jī)事件。

　　【例題】

　　下列關(guān)于事件的說法，錯誤的是(C)。

　　A.概率描述的是偶然事件，是對未來發(fā)生的不確定性中的數(shù)量規(guī)律進(jìn)行度量。

　　B.不確定性事件是指，在相同的條件下重復(fù)一個行為或試驗(yàn)，所出現(xiàn)的結(jié)果有多種，但具體是哪種結(jié)果事前不可預(yù)知。

　　C.確定性事件是指，在不同的條件下重復(fù)同一行為或試驗(yàn)，出現(xiàn)的結(jié)果也是相同的。

　　D.在每次隨機(jī)試驗(yàn)中可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的結(jié)果稱為隨機(jī)事件。

　　3.隨機(jī)變量

　　隨機(jī)變量就使用數(shù)值來表示隨機(jī)事件的結(jié)果。

　　根據(jù)所給出的結(jié)果和對應(yīng)到實(shí)數(shù)空間的函數(shù)取值范圍，可以把隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。

　　(1)離散型隨機(jī)變量的概率分布

　　離散型隨機(jī)變量的一切可能值及與其取值相應(yīng)的概率，稱做離散型隨機(jī)變量的概率分布，表示法有列舉法或表格法。

　　①列舉法

　　②表格法

　　可以通過重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生的頻率來定義離散型隨機(jī)變量的概率。在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生m(m ≤ n)次，則稱比值m/n為事件A發(fā)生的頻率。頻率m/n的這個穩(wěn)定值p稱為事件A的概率，記作P(A)=p。

　　(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

　　連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布通常使用累積概率分布或概率密度來定義。

　　無論是離散型隨機(jī)變量還是連續(xù)型隨機(jī)變量，都可以用一種統(tǒng)一的形式即分布函數(shù)來描述其概率特征。

　　若X的分布函數(shù)F(x)已知，就能知道X落在任一區(qū)間(x1，x2]上的概率。

　　(3)隨機(jī)變量的期望值和方差

　　期望值是隨機(jī)變量的概率加權(quán)和。隨機(jī)變量的方差描述了隨機(jī)變量偏離其期望值的程度。方差是隨機(jī)變量取值偏離期望值的概率加權(quán)和。

　　對離散型的隨機(jī)變量，方差可以用求和式表示為：

　　對連續(xù)型的隨機(jī)變量，方差可以通過定積分公式表示為：

　　【例題】

　　隨機(jī)變量X的概率分布表如下：

　　X1410

　　P20%40%40%

　　則，隨機(jī)變量X的期望是(A)。

　　A.5.8

　　B.6.0

　　C.4

　　D.4.8

　　標(biāo)準(zhǔn)差(或稱為波動率)是隨機(jī)變量方差的平方根，隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差是對隨機(jī)變量不確定性程度進(jìn)行刻畫的一種常用指標(biāo)。

　　1.5.2 常用統(tǒng)計分布

　　1.均勻分布

　　均勻分布的分布函數(shù)是一條斜線。

　　【例題】

　　隨機(jī)變量X服從均勻分布U(-1，3)，則隨機(jī)變量X的均值和方差分別是(C)。

　　A.1和2.33

　　B.2和1.33

　　C.1和1.33

　　D.2和2.33

　　2.二項(xiàng)分布

　　二項(xiàng)分布是描述只有兩種可能結(jié)果的多次重復(fù)事件的離散型隨機(jī)變量的概率分布。

　　二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差：E(X)=mp，Var(X)=np(1-p)。

　　3.正態(tài)分布

　　正態(tài)隨機(jī)變量X的觀測值落在距均值的距離為2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率約為0.95，而在距均值的距離為3倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)的概率約為0.9973。

　　當(dāng)μ=0，σ=1時，稱正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

　　在風(fēng)險計量的理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，正態(tài)分布起著特別重要的作用。實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似地服從正態(tài)分布。

　　【例題】

　　正態(tài)分布的圖形特征是(A)。

　　A.中間高，兩邊低，左右對稱

　　B.左高右低

　　C.右高左低

　　D.中間低，兩邊高，左右對稱

　　【例題】

　　正態(tài)隨機(jī)變量X的觀測值落在距均值的距離為2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率約為(B)。

　　A.68%

　　B.95%

　　C.32%

　　D.50%

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