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　　1.4樹與二叉樹

　　考點7 樹與二叉樹及其基本性質

　　考試鏈接：

　　考點7在筆試考試中，是一個必考的內容，在筆試考試中出現的幾率為100%，主要是以選擇的形式出現，有時也有出現在填空題中，分值為2分，此考點為重點掌握內容。重點識記樹及二叉樹的性質。

　　誤區警示：

　　滿二叉樹也是完全二叉樹，而完全二叉樹一般不是滿二叉樹。應該注意二者的區別。

　　1、樹的基本概念

　　樹(tree)是一種簡單的非線性結構。在樹結構中，每一個結點只有一個前件，稱為父結點，沒有前件的結點只有一個，稱為樹的根結點。每一個結點可以有多個后件，它們稱為該結點的子結點。沒有后件的結點稱為葉子結點。

　　在樹結構中，一個結點所擁有的后件個數稱為該結點的度。葉子結點的度為0。在樹中，所有結點中的最大的度稱為樹的度。

　　2、二叉樹及其基本性質

　　(1)二叉樹的定義

　　二叉樹是一種很有用的非線性結構，具有以下兩個特點：

　　①非空二叉樹只有一個根結點;

　　②每一個結點最多有兩棵子樹，且分別稱為該結點的左子樹和右子樹。

　　由以上特點可以看出，在二叉樹中，每一個結點的度最大為2，即所有子樹(左子樹或右子樹)也均為二叉樹，而樹結構中的每一個結點的度可以是任意的。另外，二叉樹中的每個結點的子樹被明顯地分為左子樹和右子樹。在二叉樹中，一個結點可以只有左子樹而沒有右子樹，也可以只有右子樹而沒有左子樹。當一個結點既沒有左子樹也沒有右子樹時，該結點即為葉子結點。

　　(2)二叉樹的基本性質

　　二叉樹具有以下幾個性質：

　　性質1：在二叉樹的第k層上，最多有2k-1(k≥1)個結點;

　　性質2：深度為m的二叉樹最多有2m-1個結點;

　　性質3：在任意一棵二叉樹中，度為0的結點(即葉子結點)總是比度為2的結點多一個。

　　性質4：具有n個結點的二叉樹，其深度至少為[log2n]+1，其中[log2n]表示取log2n的整數部分。

　　小技巧：在二叉樹的遍歷中，無論是前序遍歷，中序遍歷還是后序遍歷，二叉樹的葉子結點的先后順序都是不變的。

　　3、滿二叉樹與完全二叉樹

　　滿二叉樹是指這樣的一種二叉樹：除最后一層外，每一層上的所有結點都有兩個子結點。在滿二叉樹中，每一層上的結點數都達到最大值，即在滿二叉樹的第k層上有2k-1個結點，且深度為m的滿二叉樹有2m-1個結點。

　　完全二叉樹是指這樣的二叉樹：除最后一層外，每一層上的結點數均達到最大值;在最后一層上只缺少右邊的若干結點。

　　對于完全二叉樹來說，葉子結點只可能在層次最大的兩層上出現：對于任何一個結點，若其右分支下的子孫結點的最大層次為p，則其左分支下的子孫結點的最大層次或為p，或為p+1。

　　完全二叉樹具有以下兩個性質：

　　性質5:具有n個結點的完全二叉樹的深度為[log2n]+1。

　　性質6:設完全二叉樹共有n個結點。如果從根結點開始，按層次(每一層從左到右)用自然數1，2，……，n給結點進行編號，則對于編號為k(k=1，2，……，n)的結點有以下結論：

　　①若k=1，則該結點為根結點，它沒有父結點;若k>1，則該結點的父結點編號為INT(k/2)。

　　②若2k≤n，則編號為k的結點的左子結點編號為2k;否則該結點無左子結點(顯然也沒有右子結點)。

　　③若2k+1≤n，則編號為k的結點的右子結點編號為2k+1;否則該結點無右子結點。

　　考點8 二叉樹的遍歷

　　考試鏈接：

　　考點8在筆試考試中考核幾率為30%，分值為2分，讀者應該熟練掌握各種遍歷的具體算法，能由兩種遍歷的結果推導另一種遍歷的結果。

　　在遍歷二叉樹的過程中，一般先遍歷左子樹，再遍歷右子樹。在先左后右的原則下，根據訪問根結點的次序，二叉樹的遍歷分為三類：前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷。

　　(1)前序遍歷：先訪問根結點、然后遍歷左子樹，最后遍歷右子樹;并且，在遍歷左、右子樹時，仍然先訪問根結點，然后遍歷左子樹，最后遍歷右子樹。

　　(2)中序遍歷：先遍歷左子樹、然后訪問根結點，最后遍歷右子樹;并且，在遍歷左、右子樹時，仍然先遍歷左子樹，然后訪問根結點，最后遍歷右子樹。

　　(3)后序遍歷：先遍歷左子樹、然后遍歷右子樹，最后訪問根結點;并且，在遍歷左、右子樹時，仍然先遍歷左子樹，然后遍歷右子樹，最后訪問根結點。

　　疑難解答：樹與二叉樹的不同之處是什么?

　　在二叉樹中，每一個結點的度最大為2，即所有子樹(左子樹或右子樹)也均為二叉樹，而樹結構中的每一個結點的度可以是任意的。

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