難點(diǎn)2  充要條件的判定

充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q之間的關(guān)系.本節(jié)主要是通過不同的知識點(diǎn)來剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★★)已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β，證明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件.

●案例探究

［例1］已知p：|1－|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若⌐p是⌐q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

命題意圖：本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時(shí)考查了充分必要條件及四種命題中等價(jià)命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識點(diǎn)的靈活性.

知識依托：本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價(jià)命題對題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對充要條件的難理解變得簡單明了.

錯(cuò)解分析：對四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn)，對否命題，學(xué)生本身存在著語言理解上的困難.

技巧與方法：利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決.

解：由題意知：

命題：若⌐p是⌐q的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件.

p:|1－|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10

q:x2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0  *

∵p是q的充分不必要條件，

∴不等式|1－|≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集的子集.

又∵m>0

∴不等式*的解集為1－m≤x≤1+m

∴，∴m≥9，

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是［9，+∞.

［例2］已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件.

命題意圖：本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時(shí)的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

知識依托：以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點(diǎn)在于抓住數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格利用定義去判定.

錯(cuò)解分析：因?yàn)轭}目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明.

技巧與方法：由an=關(guān)系式去尋找an與an+1的比值，但同時(shí)要注意充分性的證明.

解：a1=S1=p+q.

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=pn－1(p－1)

∵p≠0,p≠1,∴=p

若{an}為等比數(shù)列，則=p

∴=p,

∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1

這是{an}為等比數(shù)列的必要條件.

下面證明q=－1是{an}為等比數(shù)列的充分條件.

當(dāng)q=－1時(shí)，∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p－1

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1)

∴an=(p－1)pn－1  (p≠0,p≠1)

=p為常數(shù)

∴q=－1時(shí)，數(shù)列{an}為等比數(shù)列.即數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件為q=－1.

　　編輯推薦：