●錦囊妙計

本難點所涉及的問題及解決方法主要有：

(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當“若p則q”形式的命題為真時，就記作pq，稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結為判斷命題的真假.

(2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“”要熟悉它的各種同義詞語：“等價于”，“當且僅當”，“必須并且只需”，“……，反之也真”等.

(3)數學概念的定義具有相稱性，即數學概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據，又是概念所具有的性質.

(4)從集合觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條件.

(5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性).

●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★)函數f(x)=x|x+a|+b是奇函數的充要條件是(    )

A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a2+b2=0

2.(★★★★)“a=1”是函數y=cos2ax－sin2ax的最小正周期為“π”的(    )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既非充分條件也不是必要條件

二、填空題

3.(★★★★)a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________.

4.(★★★★)命題A：兩曲線F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于點P(x0,y0),命題B：曲線F(x,y)+λG(x,y)=0(λ為常數)過點P(x0,y0),則A是B的__________條件.

三、解答題

5.(★★★★★)設α，β是方程x2－ax+b=0的兩個實根，試分析a>2且b>1是兩根α、β均大于1的什么條件？

6.(★★★★★)已知數列{an}、{bn}滿足：bn=,求證：數列{an}成等差數列的充要條件是數列{bn}也是等差數列.

7.(★★★★★)已知拋物線C：y=－x2+mx－1和點A(3，0)，B(0，3)，求拋物線C與線段AB有兩個不同交點的充要條件.

8.(★★★★★)p:－2<m<0,0<n<1;q:關于x的方程x2+mx+n=0有2個小于1的正根，試分析p是q的什么條件.(充要條件)

參考答案

難點磁場

證明：(1）充分性：由韋達定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.

設f(x)=x2+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線.

又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.

即有4+b>2a>－(4+b)

又|b|＜44+b>02|a|＜4+b

(2)必要性：

由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線.

∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內或無實根.

∵α，β是方程f(x)=0的實根，

∴α，β同在(－2，2）內，即|α|＜2且|β|＜2.

殲滅難點訓練

一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此時f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x·|x|=－(x|x+0|+b)

=－(x|x+a|+b)=－f(x).

∴a2+b2=0是f(x)為奇函數的充分條件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函數，即f(－x)=

(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),則必有a=b=0,即a2+b2=0.

∴a2+b2=0是f(x)為奇函數的必要條件.

答案：D

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