難點5  求解函數解析式

求解函數解析式是高考重點考查內容之一，需引起重視.本節主要幫助考生在深刻理解函數定義的基礎上，掌握求函數解析式的幾種方法，并形成能力，并培養考生的創新能力和解決實際問題的能力.

●難點磁場

(★★★★)已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1).

●案例探究

［例1］(1)已知函數f(x)滿足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表達式.

(2)已知二次函數f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求��f(x)��的表達式.

命題意圖：本題主要考查函數概念中的三要素：定義域、值域和對應法則，以及計算能力和綜合運用知識的能力.屬★★★★題目.

知識依托：利用函數基礎知識，特別是對“f”的理解，用好等價轉化，注意定義域.

錯解分析：本題對思維能力要求較高，對定義域的考查、等價轉化易出錯.

技巧與方法：(1)用換元法；(2)用待定系數法.

解：(1)令t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),則x=at.

因此f(t)= (at－a－t)

∴f(x)= (ax－a－x)(a>1,x>0;0<a<1,x<0)

(2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c

得

并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同時等于1或－1，所以所求函數為：f(x)=2x2－1或f(x)=－2x2+1或f(x)=－x2－x+1或f(x)=x2－x－1或f(x)=－x2+x+1或f(x)=x2+x－1.

［例2］設f(x)為定義在R上的偶函數，當x≤－1時，y=f(x)的圖象是經過點(－2，0)，斜率為1的射線，又在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點在(0，2)，且過點(－1，1)的一段拋物線，試寫出函數f(x)的表達式，并在圖中作出其圖象.

命題意圖：本題主要考查函數基本知識、拋物線、射線的基本概念及其圖象的作法，對分段函數的分析需要較強的思維能力.因此，分段函數是今后高考的熱點題型.屬★★★★題目. 知識依托：函數的奇偶性是橋梁，分類討論是關鍵，待定系數求出曲線方程是主線.

錯解分析：本題對思維能力要求很高，分類討論、綜合運用知識易發生混亂.

技巧與方法：合理進行分類，并運用待定系數法求函數表達式.

解：(1)當x≤－1時，設f(x)=x+b

∵射線過點(－2，0).∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2.

(2)當－1<x<1時，設f(x)=ax2+2.

∵拋物線過點(－1，1)，∴1=a·(－1)2+2,即a=－1

∴f(x)=－x2+2.

(3)當x≥1時，f(x)=－x+2

綜上可知：f(x)=作圖由讀者來完成.

●錦囊妙計

本難點所涉及的問題及解決方法主要有：

1.待定系數法，如果已知函數解析式的構造時，用待定系數法；

2.換元法或配湊法，已知復合函數f［g(x)］的表達式可用換元法，當表達式較簡單時也可用配湊法；

3.消參法，若已知抽象的函數表達式，則用解方程組消參的方法求解f(x);

另外，在解題過程中經常用到分類討論、等價轉化等數學思想方法.

●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★)若函數f(x)=(x≠)在定義域內恒有f［f(x)］=x,則m等于(    )

A.3 B. C.－ D.－3

2.(★★★★★)設函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱，在x≤1時，f(x)=(x+1)2－1,則x>1時f(x)等于(    )

A.f(x)=(x+3)2－1 B.f(x)=(x－3)2－1

C.f(x)=(x－3)2+1 D.f(x)=(x－1)2－1

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