難點7  奇偶性與單調性(一)

函數的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣.本節主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調性的定義，掌握判定方法，正確認識單調函數與奇偶函數的圖象.

難點磁場

(★★★★)設a>0,f(x)=是R上的偶函數，(1)求a的值；(2)證明： f(x)在(0，+∞)上是增函數.

案例探究

［例1］已知函數f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：

(1)f(x)為奇函數；(2)f(x)在(－1，1)上單調遞減.

命題意圖：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的判定以及運算能力和邏輯推理能力.屬★★★★題目.

知識依托：奇偶性及單調性定義及判定、賦值法及轉化思想.

錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準確，運算技能不過關，結果很難獲得.

技巧與方法：對于(1)，獲得f(0)的值進而取x=－y是解題關鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點.

證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數.

(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減.

令0<x1<x2<1,則f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f()

∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,

又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0

∴x2－x1<1－x2x1,

∴0<<1,由題意知f()<0，��

即f(x2)<f(x1).

∴f(x)在(0，1)上為減函數，又f(x)為奇函數且f(0)=0.

∴f(x)在(－1，1)上為減函數.

［例2］設函數f(x)是定義在R上的偶函數，并在區間(－∞,0)內單調遞增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內求函數y=()的單調遞減區間.

命題意圖：本題主要考查函數奇偶性、單調性的基本應用以及對復合函數單調性的判定方法.本題屬于★★★★★級題目.

知識依托：逆向認識奇偶性、單調性、指數函數的單調性及函數的值域問題.

錯解分析：逆向思維受阻、條件認識不清晰、復合函數判定程序紊亂.

技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.

解：設0<x1<x2,則－x2<－x1<0，∵f(x)在區間(－∞,0)內單調遞增，

∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)為偶函數，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),

∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)內單調遞減.

由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.

又a2－3a+1=(a－)2－.

∴函數y=()的單調減區間是［，+∞］

結合0<a<3,得函數y=()的單調遞減區間為［，3).

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