錦囊妙計

本難點所涉及的問題及解決方法主要有：

(1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調性

若為具體函數(shù)，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性.

若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理性.

同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的“磁場”及“訓練”認真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一.

復合函數(shù)的奇偶性、單調性.問題的解決關鍵在于：既把握復合過程，又掌握基本函數(shù).

(2)加強逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一.正反結合解決基本應用題目，下一節(jié)我們將展開研究奇偶性、單調性的應用.

殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★)下列函數(shù)中的奇函數(shù)是(    )

A.f(x)=(x－1) B.f(x)=

C.f(x)= D.f(x)=

2.(★★★★★)函數(shù)f(x)=的圖象(    )

A.關于x軸對稱 B.關于y軸對稱

C.關于原點對稱 D.關于直線x=1對稱

二、填空題

3.(★★★★)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|)的一個單調遞減區(qū)間是_________.

4.(★★★★★)若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),��且在［x2,+∞上單調遞增，則b的取值范圍是_________.

三、解答題

5.(★★★★)已知函數(shù)f(x)=ax+ (a>1).

(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，+∞)上為增函數(shù).

(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數(shù)根.

6.(★★★★★)求證函數(shù)f(x)=在區(qū)間(1，+∞)上是減函數(shù).

7.(★★★★)設函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱且滿足：(i)f(x1－x2)=；

(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=1.求證：

(1)f(x)是奇函數(shù).

(2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個周期是4a.

8.(★★★★★)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且對m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且

f(－)=0,當x>－時，f(x)>0.

(1)求證：f(x)是單調遞增函數(shù)；

(2)試舉出具有這種性質的一個函數(shù)，并加以驗證.

參考答案

難點磁場

(1)解：依題意，對一切x∈R,有f(x)=f(－x),即+aex.整理，得(a－)

(ex－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1

(2)證法一：設0＜x1＜x2,則f(x1)－f(x2)=

由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1－e＜0,

∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)

∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)

證法二：由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).當x∈(0,+∞)時，e－x>0,e2x－1>0.

此時f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函數(shù).

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