難點8  奇偶性與單調(diào)性(二)

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點和熱點內(nèi)容之一，特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出.本節(jié)主要幫助考生學(xué)會怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識.

●難點磁場

(★★★★★)已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0.��

●案例探究

［例1］已知奇函數(shù)f(x)是定義在(－3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,設(shè)不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤},求函數(shù)g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.

命題意圖：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運用知識分析和解決問題的能力，屬★★★★級題目.

知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.

錯解分析：題目不等式中的“f”號如何去掉是難點，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時，學(xué)生容易漏掉定義域.

技巧與方法：借助奇偶性脫去“f”號，轉(zhuǎn)化為xcos不等式，利用數(shù)形結(jié)合進行集合運算和求最值.

解：由且x≠0,故0<x<,

又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是減函數(shù)，

∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,綜上得2<x<,即A={x|2<x<},

∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x<},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上為減函數(shù)，∴g(x)max=g(1)=－4.

［例2］已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)在［0，+∞)上是增函數(shù)，是否存在實數(shù)m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)對所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由.

命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運算能力，屬★★★★★題目.

知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.

錯解分析：考生不易運用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法.

技巧與方法：主要運用等價轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題.

解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在［0，+∞)上是增函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù).于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),

即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0.

設(shè)t=cosθ,則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)��=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在［0，1］上的最小值為正.

∴當(dāng)<0,即m<0時，g(0)=2m－2>0m>1與m<0不符；

當(dāng)0≤≤1時，即0≤m≤2時，g(m)=－+2m－2>0

4－2<m<4+2,��∴4－2<m≤2.

當(dāng)>1,即m>2時，g(1)=m－1>0m>1.∴m>2

綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4－2.

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