1.5 風險管理常用的概率統計知識

　　1.5.1 基本概念

　　1.概率

　　概率是對不確定性事件進行描述的最有效的數學工具，是對不確定性事件發生可能性的一種度量。

　　不確定性事件是指，在相同的條件下重復一個行為或試驗，所出現的結果有多種，但具體是哪種結果事前不可預知。

　　確定性事件是指，在相同的條件下重復同一行為或試驗，出現的結果也是相同的。確定性事件的出現具有必然性，而不確定性事件的出現具有偶然性。

　　概率所描述的是偶然事件，是對未來發生的不確定性中的數量規律進行度量。

　　2.隨機事件

　　在每次隨機試驗中可能出現，也可能不出現的結果成為隨機事件。

　　隨機事件由基本事件構成。基本事件是隨機試驗中不能再分解的最簡單的隨機事件。

　　【例題】

　　下列關于事件的說法，錯誤的是(C)。

　　A.概率描述的是偶然事件，是對未來發生的不確定性中的數量規律進行度量。

　　B.不確定性事件是指，在相同的條件下重復一個行為或試驗，所出現的結果有多種，但具體是哪種結果事前不可預知。

　　C.確定性事件是指，在不同的條件下重復同一行為或試驗，出現的結果也是相同的。

　　D.在每次隨機試驗中可能出現，也可能不出現的結果稱為隨機事件。

　　3.隨機變量

　　隨機變量就使用數值來表示隨機事件的結果。

　　根據所給出的結果和對應到實數空間的函數取值范圍，可以把隨機變量分為離散型隨機變量和連續型隨機變量。

　　(1)離散型隨機變量的概率分布

　　離散型隨機變量的一切可能值及與其取值相應的概率，稱做離散型隨機變量的概率分布，表示法有列舉法或表格法。

　　①列舉法

　　②表格法

　　可以通過重復試驗發生的頻率來定義離散型隨機變量的概率。在相同條件下，重復進行n次試驗，事件A發生m(m ≤ n)次，則稱比值m/n為事件A發生的頻率。頻率m/n的這個穩定值p稱為事件A的概率，記作P(A)=p。

　　(2)連續型隨機變量的概率分布

　　連續型隨機變量的概率分布通常使用累積概率分布或概率密度來定義。

　　無論是離散型隨機變量還是連續型隨機變量，都可以用一種統一的形式即分布函數來描述其概率特征。

　　若X的分布函數F(x)已知，就能知道X落在任一區間(x1，x2]上的概率。

　　(3)隨機變量的期望值和方差

　　期望值是隨機變量的概率加權和。隨機變量的方差描述了隨機變量偏離其期望值的程度。方差是隨機變量取值偏離期望值的概率加權和。

　　對離散型的隨機變量，方差可以用求和式表示為：

　　對連續型的隨機變量，方差可以通過定積分公式表示為：

　　【例題】

　　隨機變量X的概率分布表如下：

　　X　 1　　4　　10

　　P　20%　40%　40%

　　則，隨機變量X的期望是(A)。

　　A.5.8

　　B.6.0

　　C.4

　　D.4.8

　　標準差(或稱為波動率)是隨機變量方差的平方根，隨機變量的標準差是對隨機變量不確定性程度進行刻畫的一種常用指標。

　　1.5.2 常用統計分布

　　1.均勻分布

　　均勻分布的分布函數是一條斜線。

　　【例題】

　　隨機變量X服從均勻分布U(-1，3)，則隨機變量X的均值和方差分別是(C)。

　　A.1和2.33

　　B.2和1.33

　　C.1和1.33

　　D.2和2.33

　　2.二項分布

　　二項分布是描述只有兩種可能結果的多次重復事件的離散型隨機變量的概率分布。

　　二項分布的數學期望和方差：E(X)=mp，Var(X)=np(1-p)。

　　3.正態分布

　　正態隨機變量X的觀測值落在距均值的距離為2倍標準差范圍內的概率約為0.95，而在距均值的距離為3倍標準差內的概率約為0.9973。

　　當μ=0，σ=1時，稱正態分布為標準正態分布。

　　在風險計量的理論研究和實際應用中，正態分布起著特別重要的作用。實際中遇到的許多隨機現象都服從或近似地服從正態分布。

　　【例題】

　　正態分布的圖形特征是(A)。

　　A.中間高，兩邊低，左右對稱

　　B.左高右低

　　C.右高左低

　　D.中間低，兩邊高，左右對稱

　　【例題】

　　正態隨機變量X的觀測值落在距均值的距離為2倍標準差范圍內的概率約為(B)。

　　A.68%

　　B.95%

　　C.32%

　　D.50%