數(shù)與代數(shù)
“數(shù)與代數(shù)”主要包括數(shù)的性質(zhì)、數(shù)的運(yùn)算以及多項(xiàng)式的計(jì)算等內(nèi)容。
在數(shù)學(xué)中，算術(shù)和數(shù)論這兩門(mén)知識(shí)正是研究整數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算的，算術(shù)實(shí)際就是小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，而數(shù)論則是研究整數(shù)性質(zhì)的更深層的理論。著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)先生為之奮斗一生的哥德巴赫猜想正是數(shù)論的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，因此數(shù)論也被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)的王冠”。當(dāng)然，本節(jié)主要以算術(shù)為主，如果有興趣，看一看數(shù)論的相關(guān)內(nèi)容對(duì)我們解題也是有幫助的。
算術(shù)方面，本節(jié)主要包括數(shù)的整除、平均數(shù)和多位數(shù);而“代數(shù)”則是“用符號(hào)表示數(shù)”，本節(jié)主要包括式子運(yùn)算，方程、函數(shù)與不等式以及特殊的函數(shù)——數(shù)列。
◎數(shù)的整除
我們知道，兩個(gè)整數(shù)的和、差、積仍然是整數(shù)，但兩個(gè)整數(shù)的商卻未必是整數(shù)，由此便引出了整除的概念。實(shí)際上，質(zhì)數(shù)與合數(shù)、余數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)等概念均由整除概念而來(lái)。
一、余數(shù)
今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何?
術(shù)曰：三三數(shù)之，剩二，置一百四十;五五數(shù)之，剩三，置六十三;七七數(shù)之，剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之，剩一，則置七十;五五數(shù)之，剩一，則置二十一;七七數(shù)之，剩一，則置十五。一百六以上，以一百五減之即得。
——《孫子算經(jīng)》
《孫子算經(jīng)》成書(shū)大約是一千五百余年以前。而上面的這個(gè)問(wèn)題就是數(shù)論中的“剩余問(wèn)題”，千年以后仍然是有關(guān)余數(shù)的最重要的題目。其解法被稱(chēng)為“中國(guó)剩余定理”。
關(guān)于剩余定理這里就不再詳細(xì)解釋了，下面我們將主要講解公考中的余數(shù)問(wèn)題及其對(duì)策。
公考中，余數(shù)問(wèn)題主要包括基本余數(shù)問(wèn)題、剩余問(wèn)題兩類(lèi)問(wèn)題。
(一)基本余數(shù)問(wèn)題
余數(shù)基本恒等式：
被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)(0≤余數(shù)<除數(shù))
(二)剩余問(wèn)題
剩余問(wèn)題核心口訣：
余同取余，和同加和，差同減差，最小公倍數(shù)做周期
余同取余，例如“一個(gè)數(shù)除以7余1，除以6余1，除以5余1”，可見(jiàn)所得余數(shù)恒為1，則取1，被除數(shù)的表達(dá)式為210n+1;
和同加和，例如“一個(gè)數(shù)除以7余1，除以6余2，除以5余3”，可見(jiàn)除數(shù)與余數(shù)的和相同，取此和8，被除數(shù)的表達(dá)式為210n+8;
差同減差，例如“一個(gè)數(shù)除以7余3，除以6余2，除以5余1”，可見(jiàn)除數(shù)與余數(shù)的差相同，取此差4，被除數(shù)的表達(dá)式為210n-4。
二、約數(shù)與倍數(shù)
約數(shù)與倍數(shù)問(wèn)題的核心實(shí)際是最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)描述的是數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，在解題中常有應(yīng)用。因此，掌握二者的求法是很必要的。
(一)約數(shù)問(wèn)題
最大公約數(shù)的求法：
(1)分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后取相同因數(shù)的乘積。
例如，2475=32×52×11，630=2×32×5×7，故2475與630的最大公約為32×5=45。
(2)短除法：從小到大依次求出兩數(shù)的公約數(shù)，直至兩商互質(zhì)，然后取所有公約數(shù)之積。
例如，
即2475與2310的最大公約數(shù)為3×5×11=165。
(3)輾轉(zhuǎn)相除法：用較小的數(shù)去除較大的數(shù)，再用得到的余數(shù)去除較小的數(shù)，再用得到的余數(shù)去除第一個(gè)余數(shù)，依此類(lèi)推，直到最后余數(shù)為0，此時(shí)的除數(shù)即是兩數(shù)的最大公約數(shù)。
例如，
6315÷600=10……315
600÷315=1……285
315÷285=1……30
285÷30=9……15
30÷15=2
故6315與600的最大公約數(shù)為15。
(二)倍數(shù)問(wèn)題
最小公倍數(shù)的求法：
(1)分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后取所有不同底數(shù)的最高次冪的乘積。
例如，2100=22×3×52×7，990=2×32×5×11，故2100與990的最小公倍數(shù)為22×32×52×7×11=69300。
(2)短除法：從小到大依次求出兩數(shù)的公約數(shù)，直至兩商互質(zhì)，然后取所有公約數(shù)與最后兩商之積。
例如，
即2100與990的最小公倍數(shù)為2×3×5×70×33=69300。
三、奇數(shù)與偶數(shù)
全體整數(shù)按能否被2整除分為奇數(shù)和偶數(shù)。奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算規(guī)律是公考題經(jīng)常考查的知識(shí)點(diǎn)。
奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算規(guī)律：
(1)加法和減法：
奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)
奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)
偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)
即“同奇同偶則為偶，一奇一偶則為奇”。
(2)乘法：
奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)
奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)
偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)
即“乘數(shù)有偶則為偶，乘數(shù)無(wú)偶則為奇”。
(3)任何一個(gè)奇數(shù)必不等于任何一個(gè)偶數(shù)。
相關(guān)推薦：
2014山東公務(wù)員考試行測(cè)數(shù)量關(guān)系：整除思想
