第四章 珠算除法

　　【基本要求】

　　1.了解除法的種類

　　2.了解除法的運算順序

　　3.熟悉除法的簡便算法

　　4.掌握珠算除法的定位方法

　　5.掌握常用的珠算除法

　　6.掌握退商與補商

　　【考試內容】

第一節 珠算除法原理

　　一、除法的種類

　　珠算除法的種類很多，有歸除法、扒皮除法、加減代除法、商除法、改商除法等。

　　除法按照估商方法的不同，分為歸除法和商除法;按照立商的檔位不同，又可以分為隔位除法和不隔位除法(又稱挨位除法)。

　　按照商除法的估商方法、歸除法的置商及減積法則來進行運算的一種既快又準的珠算除算方法被稱為改商除法(又稱為不隔位商除法)。

　　二、除法的運算順序

　　除法的運算順序如下：將被除數按要求布入算盤，然后采用大九九口訣，從左到右，先從被除數的首位數除起，逐位迭減試商與除數的乘積，依次除至末位數，計算出得數。

　　三、除法口訣

　　除法是乘法的逆運算，在商除法下，可以按照乘法大九九口訣估商。

第二節 珠算除法的定位方法

　　一、固定個位法

　　固定個位法，又稱算前定位法，即首先在算盤上確定個位檔，然后置數上盤進行運算，盤上得數即為所求的商數。

　　隔位除法下，被除數首位數入盤的位置是根據被除數的位數(m)與除數的位數(n)之差再減1(即m-n-1)來確定，如果差為1(即正一位)，就將被除數首位數置于既定的個位檔上;如果差為2(即正二位)，就將被除數首位數置于個位檔左邊的十位檔上;如果差為0(即零位)，就將被除數首位數置于個位檔右邊的十分位檔上;如果差為-1(即負一位)，就將被除數首位數置于個位檔右邊的百分位檔上，其他依此類推。

　　不隔位商除法下，被除數首位數入盤的位置則以被除數的位數(m)與除數的位數(n)之差(即m-n)為基礎來確定。

　　二、公式定位法

　　公式定位法，又稱算后定位法。該法下，先將被除數首位數與除數首位數進行比較，然后以被除數的位數(m)與除數的位數(n)之差(即m-n)為基準來確定商數的位數。

　　具體有三種情形：

　　1.被首小，位相減

　　被除數首位數小于除數首位數時，被除數的位數減除數的位數，就是商數的位數。

　　即：商數的位數(以下簡稱商位)=m-n

　　2.被首大，減后加1

　　被除數首位數大于除數首位數時，被除數的位數減除數的位數加上1，就是商數的位數。

　　即：商位=m-n+1

　　3.首位等，比下位

　　如果被除數的首位數與除數的首位數相等時，就比較二者的第二位數，如果仍相等，就依次比較第三位數，依此類推，直至末位數，如果仍均相等，則視同被除數首位數大。在比較過程中，只要二者不相等，就按照前述兩種情形確定商數的位數。

第三節 常用的珠算除法

　　一、隔位商除法

　　商除法是指兩數相除時，用被除數與除數進行比較，心算估商，然后用大九九口訣，將估算的商數與除數相乘，從被除數中減去乘積，得出商數。

　　這種方法的優點是運算原理與筆算除法基本類似，易學，計算速度快。

　　(一)隔位商除法的計算步驟

　　1.置數

　　采用固定個位法時，以m-n-1為基礎確定被除數首位數應撥入的檔位，依次布入被除數。

　　2.估商

　　用被除數除以除數，確定商數是幾。

　　3.置商

　　夠除，隔位商;不夠除，挨位商。

　　4.減去乘積

　　置商后，按照從被除數首位數起，由高位到低位，從被除數中減去商數與除數的乘積。每置一次商即減一次乘積，直至達到要求為止。

　　5.確定商數

　　運算完成后，反映在算盤上的數，即為商數。

　　(二)隔位商除法的具體應用

　　1.一位除法

　　一位除法，是指除數只有一位非零數字的除法。不論被除數是多少位，只要除數是一位非零數字，都稱為一位除法。

　　2.多位除法

　　多位除法，是指除數為兩位或兩位以上非零數字的除法。不論被除數是多少位，只要除數為兩位或兩位以上非零數字，都稱為多位除法。

　　多位除法的運算原理與一位除法一致，只是在首次估商時，可以運用以下估商法則：(1)被除數首位數大于或等于除數的首位數，且除數的第二位數小于5時，在被除數首位數內運用除數首位數估商;(2)被除數首位數大于或等于除數的首位數，且除數的第二位數大于5時，在被除數首位數內運用除數首位數加1估商;(3)被除數首位數小于除數的首位數，且除數的第二位數小于5時，在被除數首位數和第二位數內運用除數首位數估商;(4)被除數首位數小于除數的首位數，且除數的第二位數大于5時，在被除數首位數和第二位數內運用除數首位數加1估商。在后續運算的估商中，依此類推。

　　二、不隔位商除法

　　不隔位商除法即挨位商除法，也稱改商除法，它是對隔位商除法進行改進的一種運算方法，其運算原理與隔位商除法一致，只是在定位和置商時的檔位有所不同。

　　這種方法的優點是占用檔位少，簡化了運算程序，撥珠次數相應減少，計算速度快。

　　改商除法的計算步驟是：

　　1.置數

　　采用固定個位法時，以m-n為基礎確定被除數首位數應撥入的檔位，依次布入被除數。

　　2.估商

　　用被除數除以除數，確定商數是幾。

　　在首次估商時，可以運用以下估商法則：(1)被除數首位數大于或等于除數的首位數，且除數的第二位數小于5時，在被除數首位數內運用除數首位數估商;(2)被除數首位數大于或等于除數的首位數，且除數的第二位數大于5時，在被除數首位數內運用除數首位數加1估商;(3)被除數首位數小于除數的首位數，且除數的第二位數小于5時，在被除數首位數和第二位數內運用除數首位數估商;(4)被除數首位數小于除數的首位數，且除數的第二位數大于5時，在被除數首位數和第二位數內運用除數首位數加1估商。在后續運算的估商中，依此類推。

　　3.置商

　　夠除，挨位商;不夠除，本位改作商。

　　4.減積的檔位

　　置商后，按照從被除數首位數起，由高位到低位，從被除數中減去商數與除數的乘積。每置一次商即減一次乘積，直至達到要求為止。

　　5.商數

　　運算完成后，反映在算盤上的數，就是商數。

　　三、省除法

　　省除法是指在不能整除的除法運算中，按要求省略余數并調整最末位商，使商數保留一定位數(如保留兩位小數)的一種除法。因此，省除法下的商數為近似值。

　　采用固定個位法時，省除法較為簡便，因為商數要求保留到哪位，就運算到哪位，然后比較余數與除數的前兩位有效數字，若余數的前兩位有效數字小于除數前兩位有效數字的一半時，則舍去;反之，就在最末位的商數上加1.運算完成后，盤上數即為商數。

第四節 退商與補商

　　退商與補商是試商差誤的矯正方法。

　　一、退商

　　在多位數除法運算過程中，估商過大導致被除數不夠減去商與除數的乘積時，只能將商改小。如果開始置商就發現不夠減乘積，就直接將商改小，直到夠減為止。如果置商后已減過乘積后才發現商過大，只能退商，商數退幾，就在置商右邊相應的檔位上，補加該數與除數的乘積。

　　二、補商

　　在運算中，估商過小導致被除數減去商與除數的乘積后，余數中含有除數的一倍甚至幾倍，這時，有幾倍就在商中再補加幾，同時在被除數里減去幾倍除數。

　　在被除數一定的情況下，由于對商影響較大的首先是除數的首位數，然后是除數的第二位數，因此，估商時可以運用估商法則。估商法則對大部分算題都能解決，解決不了的，仍需要退商與補商。

第五節 除法的簡便算法

　　一、補數除法

　　補數除法是指在除數接近10的整數次冪的除法運算中，利用齊數與補數的關系，通過加減除數的補數來減少撥珠次數的一種簡便除法。

　　在補數除法中，每次估定的商數是幾，就在被除數相應檔位加上該商數與除數補數的乘積(以下用P代替)。該乘積P視具體情況加入被除數：(1)被除數不夠除時，就在下檔加上P，但如果P的位數比補數位數多一位(積首進位)，就在本檔加上P.(2)被除數夠除時，就在本檔加上P，但如果P的位數比補數位數多一位，就在前檔加上P。

　　在P加入被除數得出的和中，如果本檔數字與估定的商相同，這個數字就是商數;如果不同，就需要退商或補商。

　　(一)補數加除法

　　補數加除法是指不需要退商的補數除法。其商數的確定有兩種情形：(1)將P加入被除數得出的和中，如果本檔數字與估定的商相同，這個數字就是商數;(2)如果本檔數字比估定的商大，就繼續加補數(即補商)，調整使其一致。當本檔數字小于估定的商時，就用補數加減結合除法。

　　(二)補數加減結合除法

　　補數加減結合除法是指由于本檔數字比估定的商小，需要減去補數(即退商)使其一致的補數除法。

　　二、倒數除法

　　在除法運算中，根據除法與乘法互逆的運算性質，可以以乘代除，即某數除以任何不為零的數，均可以乘以其倒數，這種方法叫做倒數除法。

　　這種方法的優點是：由于有些除數的倒數很容易求出，以乘代除，可以提高計算速度。

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