難點3  運用向量法解題

平面向量是新教材改革增加的內容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內容的考查力度，本節內容主要是幫助考生運用向量法來分析，解決一些相關問題.

●難點磁場

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線

AM的長；(2)∠CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值.

●案例探究

［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面��ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

(1)求證：C1C⊥BD.

(2)當的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明.

命題意圖：本題主要考查考生應用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.

知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數化，使繁瑣的論證變得簡單.

錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關系和數量關系的相互轉化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區別與聯系.

技巧與方法：利用a⊥ba·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應的向量的數量積為零即可.

(1)證明：設=a, =b,=c,依題意，|a|=|b|，、、��中兩兩所成夾角為θ，于是=a－b，=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.

(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，

由

=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得

當|a|=|c|時，A1C⊥DC1，同理可證當|a|=|c|時，A1C⊥BD，

∴=1時，A1C⊥平面C1BD.

［例2］如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.

(1)求的長；

(2)求cos<>的值；

(3)求證：A1B⊥C1M.

命題意圖：本題主要考查考生運用向量法中的坐標運算的方法來解決立體幾何問題.屬

★★★★級題目.

知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當的空間直角坐標系O－xyz,進而找到點的坐標和求出向量的坐標.

錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標.

技巧與方法：可以先找到底面坐標面xOy內的A、B、C點坐標，然后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標.

(1)解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系O－xyz.

依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)

∴||=.

(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).

∴==(0，1，2)

=1×0+(－1)×1+2×2=3

||=

(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M()

∴

∴A1B⊥C1M.

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