(3)隨機變量的期望值和方差

　　期望值是隨機變量的概率加權和。隨機變量的方差描述了隨機變量偏離其期望值的程度。方差是隨機變量取值偏離期望值的概率加權和。

　　.二項分布

　　二項分布是描述只有兩種可能結果的多次重復事件的離散型隨機變量的概率分布。

　　二項分布的數學期望和方差：E(X)=mp，Var(X)=np(1-p)。

　　3.正態分布

　　正態隨機變量X的觀測值落在距均值的距離為2倍標準差范圍內的概率約為0.95，而在距均值的距離為3倍標準差內的概率約為0.9973。

　　當μ=0，σ=1時，稱正態分布為標準正態分布。

　　在風險計量的理論研究和實際應用中，正態分布起著特別重要的作用。實際中遇到的許多隨機現象都服從或近似地服從正態分布。

　　【例題】

　　正態分布的圖形特征是(A)。

　　A.中間高，兩邊低，左右對稱

　　B.左高右低

　　C.右高左低

　　D.中間低，兩邊高，左右對稱

　　【例題】

　　正態隨機變量X的觀測值落在距均值的距離為2倍標準差范圍內的概率約為(B)。

　　A.68%

　　B.95%

　　C.32%

　　D.50%

　　1.6 風險管理的數理基礎

　　1.6.1 收益的計量

　　1.絕對收益

　　絕對收益是對投資成果的直接衡量，反映投資行為得到的增值部分的絕對量。

　　絕對收益=P-P0

　　最常用的兩種相對收益計量方法是百分比收益率和對數收益率。

　　2.百分比收益率

　　百分比收益率是對期初投資額的一個單位化調整，即一個單位貨幣在給定投資周期的收益率

　　百分比收益率只考慮了期初的投資額，沒有考慮不同投資期限的影響。

　　背景知識：計算資產組合收益率

　　資產組合的百分比收益率等于各資產百分比收益率的加權平均。對于包含N種資產的投資組合，總資產的百分比收益率為：

　　3.對數收益率

　　當復利是連續計算時，就得到對數收益率。對數收益率是兩個時期資產價值取對數后的差額：

　　1.預期收益率和方差的計算

　　風險管理過程中所計算的預期收益率是一種平均水平的概念，但不是簡單的直接平均，而是對未來可能結果的加權平均，即每一種結果的收益率乘以這種結果出現的可能性。

　　不確定結果的標準差通常被用來刻畫其不確定程度，標準差越大表明不確定性越大，即出現較大收益或損失的機會增大。當標準差很小或接近于零時，可能出

　　2.風險分散的原理

　　投資者在預期收益相同的條件下，愿意投資風險(標準差)更小的資產;而在相同的風險水平，希望得到收益更高的資產。如果兩種資產的預期收益分別為R1和R2，每一種資產的投資權重分別為W1和W2=1-W1，則該組合投資的預期收益為Rp=W1R1+W2R2。如果兩種資產的標準差分別為σ1和σ2，則該組合的標準差為：

　　相關系數ρ是一個絕對值小于1的數。在兩種資產之間的收益率變化不完全相關，即ρ<1時，用標準差度量的加權組合資產的風險小于各資產風險加權和，體現了組合投資降低和分散風險的作用。

　　3.風險分散的數理邏輯

　　上述分析中假設各家公司的違約彼此不存在相關性。實踐中，由于宏觀或行業等共同因素作用會使公司違約存在一定的相關性。如果相關性存在，則風險分散的結果會有所變化：當相關性為正則分散效果變差，當相關性為負則分散效果更好。為了使違約的相關性盡可能低，通常需要將貸款分布到不同的行業或地域。由此可見，商業銀行通過實施風險分散的貸款策略，可以使發生大額損失的可能性顯著降低，這也正是商業銀行利用自身風險管理的優勢，通過對風險進行分配而達到管理和降低風險、保持穩定收益的目的。

　　1.6.3 風險敏感性分析的泰勒展式

　　風險管理的主要任務就是評價各種風險因素的變化對資產價值的影響。

　　1.變化率和導數

　　風險因素的變化程度不大時，資產價值的變化率就是函數關于風險因素的一階導數：

　　2.泰勒展式的近似程度

　　泰勒展式的近似效果與使用多少階導數有關，也以離開給定點的距離有關。

　　現的結果的不確定性程度減小。

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