(2)年值與將來值的相互計算

　　年值是指某一特定時間序列期內，每隔相同時間收支的等額款項，用A表示，Annual value的縮寫。

　　例題：每年年末分別按年利率6%存入銀行100元，則按(1-2)式將每年年末的存款額分別計算出將來值累計求和，則4年末的復本利和F值為(見圖1-3)：

 

　　『答案解析』F=100×(1+0.06)3+100×(1+0.06)2+100×(1+0.06)1+100×(1+0.06)0=100×[1+(1+0.06) 3+(1+0.06)2+(1+0.06)]。

　　根據上述思路，當計息期間為n，每期末支付的金額為A，資本的利率為i，則n期末的復本利和F值為：

　　F=A(1+i)0+A(1+i)1+A(1+i)2+…+ A(1+i)n-1=A×[(1+i)n-1]/i (1-4)

　　上式中，[(1+i)n-1]/i稱為等額支付將來值因數，用符號(F/A,i,n)表示。同樣，其因數值可從相應因數表中查得。

　　當已知將來值F，欲將其換算成年等值A時，只需將上式(1-4)式稍加變換即可得到：

　　A=F×i/[(1+i)n-1] (1-5)

　　式中1/[(1+i)n-1]稱為等額支付償債基金因數，用符號(A/F,i,n)表示，意味著已知F值求A值，同樣，其值可由表中查得。

　　例題：欲在7年后償還1000元借款，計劃每年末存入銀行一定數額的資金(稱償債基金)，若存款利率為8%，則每年末存款金額為多少?

　　『答案解析』已知：F=1000元，i=8%，n=7年。

　　利用公式A=1000×(A/F，i，n)，A=1000×0.1121=112.1(元)

　　即每年年末存款112.1元，7年末可得1000元。

　　年值與將來值的相互換算關系可用圖1-4表示。

 

　　(3)年值與現值的相互計算

　　為了得出當年值為已知，求現值P的公式，只需應用已導出的已知F值求A值的(1-5)式和已知F值求P值的(1-3)式即可得出：

 (1-6)

　　附推導過程：將(1-4)式 代入(1-3)式 ，即可得出， 。

　　為了得到已知P值求A值的公式，只需將(1-6)式稍加變換即得：

　　 (1-7)

　　※(1-6)式中與A相乘的因數( )稱為等額支付現值因數，用(P/A，i，n)表示，意味著已知A值時求P值。

　　※(1-7)式中與P相乘的因數( )稱為資本回收因數，用(A/P,i,n)表示，意味著已知P值時求A值。

　　同樣，上述因數值可通過查表的方式求得�，F值P和年值A的相互換算關系圖1-5所示。

 

　　值得指出的是：當n值足夠大，年值A和現值P之間的計算可以簡化。用(1+i)n去除(1-7)式資本回收因數的分子和分母，可得下式：

　　根據極值的概念可知：當n值趨于無窮大時， 將趨近于i值(即資本回收因數值)。同樣，用(1+i)n去除(1-6)式等額支付現值因數的分子和分母可得：n趨于無窮大時其值趨近于1/i。事實上，當投資的效果持續幾+年以上時就可以認為n趨于無窮大，而應用上述的簡化算法，其計算誤差在允許的范圍內。利用上述道理，當求港灣、道路以及壽命長的建筑物、構筑物等的投資年值或凈收益的現值時，將給問題的求解帶來極大的方便。

　　 ,當n→+∝時，A=Pi;

　　 ，當n→+∝時，P=A/i。

　　※本部分考試采分點：永續年值計算。

　　【例2·單選題】某地區用100萬元捐款修建一座永久性建筑物，該建筑物每年的維護費用為2萬元(折算至年末)，除初期建設費用外，其余捐款(用于維護的費用)以6%的年利率存入銀行，以保證正常的維護費用開支，則可用于修建永久性建筑物的資金是(　)萬元。(2009年試題)

　　A.66.67

　　B.68.67

　　C.76.65

　　D.80.67

　　『正確答案』A

　　『答案解析』此題主要考查的是永續年值(n趨于無窮大)的情況，P=A/i，維護費用現值=2÷6%=33.33(萬元)�？捎糜谛藿ㄓ谰眯越ㄖ锏馁Y金=100-33.33=66.67(萬元)。

　　【例3·單選題】某永久性建筑物初期投資額為66.667萬元，此后每年年末的作業費用為2萬元，假定基準收益率為6%。則該方案的總費用現值是(　)萬元。(2008年試題)

　　A.80

　　B.90

　　C.100

　　D.110

　　『正確答案』C

　　『答案解析』此題主要考查的是永續年值(n趨于無窮大)的情況，P=A/i，該方案的總費用現值=66.667+2÷6%=100(萬元)。

　　【例4·單選題】某項目預計初期投資為100萬元，投資效果持續時間(壽命)為無限，凈收益發生于每年末且數值相等，若基準收率為10%，則年凈收益超過(　)萬元時，該項投資可以被接受。(2006年試題)

　　A.8

　　B.10

　　C.12

　　D.15

　　『正確答案』B

　　『答案解析』當n值足夠大，年值A和現值P之間的計算可以簡化。用(1+i)n去除(1-7)式資本回收因數的分子和分母，可得下式：

　　根據極值的概念可知：當n值趨于無窮大時， 將趨近于i值(即資本回收因數值)。

　　A=100萬元×10%=10(萬元)。

　　以上是關于極限的利用，對于A和P的關系。

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