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第 1 頁:【知識點1】期權估價原理 |
第 3 頁:【知識點2】二叉樹期權定價模型 |
第 5 頁:【知識點3】布萊克—斯科爾斯期權定價模型(B-S模型) |
三、多期二叉樹模型
原理 |
從原理上看,與兩期模型一樣,從后向前逐級推進 |
乘數確定 |
期數增加以后帶來的主要問題是股價上升與下降的百分比如何確定問題。期數增加以后,要調整價格變化的升降幅度,以保證年收益率的標準差不變。把年收益率標準差和升降百分比聯系起來的公式是: |
【例】已知某期權標的股票收益率的標準差σ=0.4068,該期權的到期時間為6個月。要求計算上行乘數和下行乘數。
如果將6個月劃分為2期,計算上行乘數和下行乘數。
時間間隔為1/4年,則u=1.2256,即上升22.56%;d=0.816,即下降18.4%
做題程序:
(1)根據標準差和每期時間間隔確定每期股價變動乘數(應用上述的兩個公式)
(2)建立股票價格二叉樹模型
(3)根據股票價格二叉樹和執行價格,構建期權價值的二叉樹。
構建順序由后向前,逐級推進!獜椭平M合定價或者風險中性定價。
(4)確定期權的現值
【例】已知:股票價格So=50元,執行價格52.08元,年無風險利率4%,股價波動率(標準差)0.4068.到期時間6個月,劃分期數為6期。
『正確答案』1.確定每期股價變動乘數
u=1.1246
d=0.8892
【注意】計算中注意t必須為年數,這里由于每期為1個月,所以t=1/12年。
2.建立股票價格二叉樹
【填表規律】以當前股價50為基礎,先按照下行乘數計算對角線的數字;對角線數字確定之后,各行該數字右邊的其他數字均按照上行乘數計算。
3.按照股票價格二叉樹和執行價格,構建期權價值二叉樹。
(1)確定第6期的各種情況下的期權價值
7個數字中有三個大于執行價格,可以據此計算出三個期權價值(49.07=101.15-52.08;27.9=79.98-52.08;11.16=63.24-52.08),后四個數字小于執行價格,期權價值為0。
買入期權價格 |
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38.04 |
49.07 |
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27.90 | |
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11.16 | |
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0 | |
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0 | |
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0 | |
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0 |
(2)確定第5期的期權價值(風險中性原理)
上行百分比=u-1=1.1246-1=12.46%
下行百分比=1-d=1-0.8892=11.08%
4%/12=上行概率×12.46%+(1-上行概率)×(-11.08%)
上行概率=0.4848
下行概率=1-0.4848=0.5152
【提示】概率的計算也可以采用下式:
上行概率
下行概率=1-0.4848=0.5152
接下來,根據第6期的期權價值數字和上行下行概率計算第5期的期權價值數字。例如,第5期的第一個期權價值數字計算如下:
其他數字計算同前。
買入期權價格 |
5.30 |
8.52 |
13.26 |
19.84 |
28.24 |
38.04 |
49.07 |
|
2.30 |
4.11 |
7.16 |
12.05 |
19.21 |
27.90 | |
|
|
0.61 |
1.26 |
2.61 |
5.39 |
11.16 | |
|
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0 |
0 |
0 |
0 | |
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0 |
0 |
0 | |
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0 |
0 | |
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0 |
【提示】運用風險中性原理的關鍵是計算概率。概率的計算有兩種方法:
(1)直接按照風險中性原理計算
期望報酬率=(上行概率×上行時收益率)+(下行概率×下行時收益率)
假設股票不派發紅利,股票價格的上升百分比就是股票投資的收益率,因此:
期望報酬率=(上行概率×股價上升百分比)+(下行概率×股價下降百分比)
(2)按照公式計算
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