三、多期二叉樹模型

　　【例】已知某期權(quán)標的股票收益率的標準差σ=0.4068，該期權(quán)的到期時間為6個月。要求計算上行乘數(shù)和下行乘數(shù)。

 

　　如果將6個月劃分為2期，計算上行乘數(shù)和下行乘數(shù)。

　　時間間隔為1/4年，則u=1.2256，即上升22.56%;d=0.816，即下降18.4%

　　做題程序：

　　(1)根據(jù)標準差和每期時間間隔確定每期股價變動乘數(shù)(應用上述的兩個公式)

　　(2)建立股票價格二叉樹模型

　　(3)根據(jù)股票價格二叉樹和執(zhí)行價格，構(gòu)建期權(quán)價值的二叉樹。

　　構(gòu)建順序由后向前，逐級推進。——復制組合定價或者風險中性定價。

　　(4)確定期權(quán)的現(xiàn)值

　　【例】已知：股票價格So=50元，執(zhí)行價格52.08元，年無風險利率4%，股價波動率(標準差)0.4068.到期時間6個月，劃分期數(shù)為6期。

　　『正確答案』1.確定每期股價變動乘數(shù)

　　u=1.1246

　　d=0.8892

　　【注意】計算中注意t必須為年數(shù)，這里由于每期為1個月，所以t=1/12年。

　　2.建立股票價格二叉樹

 

　　【填表規(guī)律】以當前股價50為基礎(chǔ)，先按照下行乘數(shù)計算對角線的數(shù)字;對角線數(shù)字確定之后，各行該數(shù)字右邊的其他數(shù)字均按照上行乘數(shù)計算。

　　3.按照股票價格二叉樹和執(zhí)行價格，構(gòu)建期權(quán)價值二叉樹。

　　(1)確定第6期的各種情況下的期權(quán)價值

　　7個數(shù)字中有三個大于執(zhí)行價格，可以據(jù)此計算出三個期權(quán)價值(49.07=101.15-52.08;27.9=79.98-52.08;11.16=63.24-52.08)，后四個數(shù)字小于執(zhí)行價格，期權(quán)價值為0。

　　(2)確定第5期的期權(quán)價值(風險中性原理)

　　上行百分比=u-1=1.1246-1=12.46%

　　下行百分比=1-d=1-0.8892=11.08%

　　4%/12=上行概率×12.46%+(1-上行概率)×(-11.08%)

　　上行概率=0.4848

　　下行概率=1-0.4848=0.5152

　　【提示】概率的計算也可以采用下式：

　　上行概率

 

　　下行概率=1-0.4848=0.5152

　　接下來，根據(jù)第6期的期權(quán)價值數(shù)字和上行下行概率計算第5期的期權(quán)價值數(shù)字。例如，第5期的第一個期權(quán)價值數(shù)字計算如下：

 

　　其他數(shù)字計算同前。

　　【提示】運用風險中性原理的關(guān)鍵是計算概率。概率的計算有兩種方法：

　　(1)直接按照風險中性原理計算

　　期望報酬率=(上行概率×上行時收益率)+(下行概率×下行時收益率)

　　假設(shè)股票不派發(fā)紅利，股票價格的上升百分比就是股票投資的收益率，因此：

　　期望報酬率=(上行概率×股價上升百分比)+(下行概率×股價下降百分比)

　　(2)按照公式計算

 

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