無論國考還是聯(lián)考、四川省公務(wù)員考試，不定方程是數(shù)學(xué)運(yùn)算歷年考查的重點(diǎn)題型，也是令很多考生畏懼的難點(diǎn)題型。下面以近幾年的省考真題為例，對不定方程這一模塊常用的方法進(jìn)行詳細(xì)的真題解析與命題趨勢分析，以備考生需要。
題型一：代入排除法
【例1】1分、2分和5分的硬幣共100枚，價(jià)值2元，如果其中2分硬幣的價(jià)值比1分硬幣的價(jià)值多13分，那么三種硬幣各多少枚?( )
A.51、32、17 B.60、20、20
C.45、40、15 D.54、28、18
【解析】不定方程最基本的方法是代入排除法。本題中將選項(xiàng)代入，發(fā)現(xiàn)只有A選項(xiàng)滿足2分硬幣的價(jià)值比1分硬幣的價(jià)值多13分。所以，本題答案為A選項(xiàng)。
【練習(xí)】裝某種產(chǎn)品的盒子有大、小兩種，大盒每盒能裝11個(gè)，小盒每盒能裝8個(gè)，要把89個(gè)產(chǎn)品裝入盒內(nèi)，要求每個(gè)盒子都恰好裝滿，需要大、小盒子各多少個(gè)?( )
A. 3，7 B. 4，6
C. 5，4 D. 6，3
【解析】思路與例1完全相同，直接代入選項(xiàng)，只有A選項(xiàng)滿足89個(gè)產(chǎn)品。
題型二：數(shù)字特性法
近來比較喜歡考查在不定方程的基礎(chǔ)上，外加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是明顯的條件或者暗含在題干信息中。對于此種類型的不定方程，優(yōu)先考慮奇偶特性，然后考慮尾數(shù)特性。
【例2】某兒童藝術(shù)培訓(xùn)中心有5名鋼琴教師和6名拉丁舞教師，培訓(xùn)中心將所有的鋼琴學(xué)員和拉丁舞學(xué)員共76人分別平均地分給各個(gè)老師帶領(lǐng)，剛好能夠分完，且每位老師所帶的學(xué)生數(shù)量都是質(zhì)數(shù)。后來由于學(xué)生人數(shù)減少，培訓(xùn)中心只保留了4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師，但每名教師所帶的學(xué)生數(shù)量不變，那么目前培訓(xùn)中心還剩下學(xué)員多少人?( )
A.36 B.37
C.39 D.41
【解析】假設(shè)每名鋼琴老師帶的學(xué)生數(shù)是x，拉丁舞老師帶的學(xué)生數(shù)為y，則本題就是在不定方程5x+6y=76
的基礎(chǔ)上，加了x、y都是質(zhì)數(shù)這個(gè)條件，要根據(jù)數(shù)字特性來尋求滿足該不定方程的解。先考慮奇偶特性，76是偶數(shù)，6y是偶數(shù)，則5x是偶數(shù)，而5是奇數(shù)，所以x是偶數(shù)，并且是質(zhì)數(shù)，因此x=2，代入方程，y=11。所以4×2+3×11=41，本題選擇D選項(xiàng)。
【練習(xí)】超市將99個(gè)蘋果裝進(jìn)兩種包裝盒，大包裝盒每個(gè)裝12個(gè)蘋果，小包裝盒每個(gè)裝5個(gè)蘋果，共用了十多個(gè)盒子剛好裝完。問兩種包裝盒相差多少個(gè)?( )
A.3 B.4
C.7 D.13
【解析】此題與例2屬于同一類型。假設(shè)大、小包裝盒的個(gè)數(shù)分別為x、y，在不定方程12x+5y=99的基礎(chǔ)上，加了一個(gè)條件10
題型三：賦0法 或者消元法
三元一次不定方程組，在求解一個(gè)式子的類型中，可以將其中一個(gè)未知數(shù)賦為0，或者消掉一個(gè)未知數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為二元一次方程來求解。
【例3】甲、乙、丙三種貨物，如果購買甲3件、乙7件、丙1件需花3.15元，如果購買甲4件、乙10件、丙1件需花4.20元，那么購買甲、乙、丙各1件需花多少錢?( )
A.1.05元 B.1.40元
C.1.85元 D.2.10元
【解析】假設(shè)甲、乙、丙1件的價(jià)錢分別為x、y、z，則根據(jù)題意，可以列得不定方程組為：
，本題要求的x+y+z的值，而此值為定值。所以可以賦y=0，則解得x=1.05，z=0，則x+y+z=1.05，答案為A選項(xiàng)。本題也可以采用消元法，將第一個(gè)方程×3-第二個(gè)方程×2=x+y+z=1.05。
【練習(xí)】甲買了3支簽字筆、7支圓珠筆和1支鉛筆，共花了32元，乙買了4支同樣的簽字筆、10支圓珠筆和1支鉛筆，共花了43元。如果同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買一支，共用多少錢?( )
A.21元 B.11元
C.10元 D.17元
【解析】本題與例3屬于同一類型。假設(shè)1支簽字筆、圓珠筆、鉛筆的價(jià)錢分別為x、y、z，可以列得不定方程組為：
，本題要求x+y+z的取值，此值為定值。所以賦y=0，則解得x=11，z=-1，則x+y+z=10。本題也可以采用消元法，將第一個(gè)方程×3-第二個(gè)方程×2=x+y+z=10。答案為C選項(xiàng)。
題型四：特殊因子法
三元一次不定方程，求解的不是一個(gè)式子的時(shí)候，可以采用特殊因子法。
【例4】某公司的6名員工一起去用餐，他們各自購買了三種不同食品中的一種，且每人只購買了一份。已知蓋飯15元一份，水餃7元一份，面條9元一份，他們一共花費(fèi)了60元。問他們中最多有幾人買了水餃?( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】假設(shè)蓋飯、水餃、面條各購買了x、y、z份，則根據(jù)題意有：
，根據(jù)第二個(gè)方程15x、9z、60都是3的倍數(shù)，所以7y也是3的倍數(shù)，y是3的倍數(shù)，又是小于6的整數(shù)，因此y=3，本題答案為C選項(xiàng)。
【小結(jié)】
不定方程的主要方法不外乎五類：代入排除法、數(shù)字特性法、賦0法、消元法、特殊因子法，五種方法并不具有排他性，也可結(jié)合起來使用。基本題型分四種：
1. 題目如果只列不定方程或者不定方程組，沒有給定顯性條件，則優(yōu)先考慮代入排除法;
2. 題目如果只列二元一次不定方程，外加條件，一般考慮數(shù)字特性法：優(yōu)先奇偶特性，然后考慮尾數(shù)特性;
3. 題目如果是三元一次不定方程組，求解一個(gè)為定值的式子，則用賦0法 或者消元法;
4. 題目如果是三元一次不定方程組，求解一個(gè)未知數(shù)，則可以用特殊數(shù)字法。
