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2014國家公務員考試:數學運算中“構造問題”

  在歷年公考中,數學運算中有一類考題稱為“構造問題”,這種問題的問法經常涉及到“最多”或者“最少”。在最近這幾年的國考及聯考中,這樣的題目花樣在不斷的翻新,并且難度在加大。很多考生面臨這樣的題目,感覺無從下手,在考試的時候一看就直接放棄。造成這樣的原因是因為對這樣的題目歸類不清晰,且解題的思路不明確,造成了對這一類題目的恐懼。下面首先要對這樣的題目進行歸類,再對每類題目逐一進行解答。

  一、抽屜原理的構造問題

  識別:有若干種不同的事物,從中至少抽出幾個,才能保證在抽出的事物符合問題的要求。這類問題的識別往往不是靠“至少”去識別,而是靠“保證”這樣的關鍵字。

  解法:確定問題的要求(取N個),運用最不利的原則,每種事物只取(N-1個),某種事物不滿足問題要求或者數量不夠(N-1個),則全取,把所有數量相加以后,再加1,即可。

  【例題1】(浙江2007)一個袋內有100個球,其中有紅球28個、綠球20個、黃球12個、藍球20個、白球10個、黑球10個。現在從袋中任意摸球出來,如果要使摸出的球中,至少有15個球的顏色相同,問至少要摸出幾個球才能保證滿足上述要求?( )

  A. 78個 B. 77個

  C. 75個 D. 68個

  【答案】C

  【解析】先確定目標“有15個球的顏色相同”。但是我們發現紅色,綠色,藍色能滿足15個;黃色、白色、黑色不能滿足15個。

  運用最不利原則,能滿足的取14個,則需要取14×3=42個,不能滿足的,全部取完,需要12+10+10=32個,最后為42+32+1=75個,故答案為C。

  二、數列型構造問題

  識題:題目中有若干個雷同事物且數量的和為定值,求其中某一特定排名的量所對應的最大值或最小值。

  解法:將問題中所需要的變量設為X,如果其為最大,則只需要讓其它量最小即可;反之,要求X最小,則考慮其它量盡可能大,相加等于總量,解方程就可以得出結論。

  【例題2】(北京2009)一次數學考試滿分是100分,某班前六名同學的平均得分是95分,排名第六的同學的得分是86分,假如每人得分是互不相同的整數,那么排名第三的同學最少得多少分?

  A. 94 B. 97

  C. 95 D. 96

  【答案】D

  【解析】6個人總分為570分,排名第三要最少,則其他部分需要盡可能大。那么第一名為100,第二名為99。設第三名為X,第4,5名次需要盡可能大,設為x-1,x-2,根據題意列方程為:

  100+99+x+x-1+x-2+86=570,解方程為x=96。故答案選D。

  三、集合型構造問題

  識題:在一個總集合里,包含有多個子集合,,每個子集合存在相同的兩種相反的屬性,求這些子集合一種屬性在什么情況下總量最大。

  解法:當需要求解某種屬性之和最大問題,正面難以求解的情形下,我們可以求解這種屬性的相反屬性。再用總數減去反面的極值,就可以得到問題中的極值。

  【例題3】(2010.9.18聯考)某社團共有46人,其中35人愛好戲劇,30人愛好體育,38人愛好寫作,40人愛好收藏,這個社團至少有多少人以上四項活動都喜歡?( )

  A. 5 B. 6

  C. 7 D. 8

  【答案】A

  【解析】在這個問題中每個子集合都包含了喜歡與不喜歡這樣的相反屬性。問題要求的是四項都喜歡的和的極值,相對來說比較難求解,但是我們可以去求解每種活動不喜歡的人數,進行反面求解更加方便。不喜歡這四項活動的人數分別為46-35=11人,46-30=16人,46-38=8人,46-40=6人。有一種活動不喜歡一樣的人數最多,則四個都喜歡的人數就最少。4個集合均無交集,不喜歡的人數就最多,為11+16+8+6=41人,所以四種活動都喜歡的人數最少為46-41=5人,答案選A[微軟用戶1] 。

  四、幾何型構造問題

  識題:在集合問題中,問題中所求的線,面,體相關的屬性的量為最大最小的問題。

  解法:盡可能尋找所求的“線,面,體相關的屬性的量”的區間范圍,確定所求的最大最小問題的極端情況,根據幾何問題的解法求解。

  【例題4】(2010.4.24聯考)將邊長為1的正方體一刀切割為2個多面體,其表面積之和最大為:( )

  A. 6+ B. 6+ C. 6+ D. 6+ 【答案】A

  【解析】所求兩個多面體的面積,只需要將立方體的外表面面積加上切割出現的面積即可。但是所求面積要最大,立方體外表面積不變,需要要讓切割出現的面積最大即可。切割出現的面積最小為2個正方形的面積,最大的情形就是變長為1和 的長方形,面積為 。因此表面積最大為6+ 。答案為A。

  這類問題幾乎是國考、聯考的必考題型,有的題目難度比較大,但是只要將題目分好類,掌握好每類題目的解題思路,這樣的難題也就變得不再難。希望大家能熟練掌握這類問題的解決方法,在筆試中順利通關!

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華圖公務員考試研究中心申論教研室主任,法學博士,中國社會科學院青年學者。長期從事公務員...詳細
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